正弦定理和余弦定理.ppt

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1、柯桥中学高三数学组 何利民,第四编 三角恒等变换、解三角形,4.6 正弦定理和余弦定理,要点梳理1.正弦定理:,其中R是三角形 外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:（1）abc=sin Asin Bsin C;（2）a=,b=,c=;（3）等形式,2Rsin C,2Rsin A,2Rsin B,利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他两边和一角（从而进一步求出其他的边和角）；情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.,余弦定理可以变形为:,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B

2、,c2=a2+b2-2abcos C,2.余弦定理:,利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。,3.面积公式(r是三角形内切圆的半径，）,并可由此计算R、r.,5.解三角形的类型 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：,基础自测1.（2008陕西理，3）ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120,则a等于（）A.B.2 C.D.解析,D,2.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 a、b、c成等比数列，且c=2a,则cos B等于()A.B.C.D.解析 由已知得b2=ac,c=2

3、a,B,3.在ABC中，A=60,a=4,b=4,则B等 于（）A.45或135 B.135 C.45 D.以上答案都不对 解析 由正弦定理得 又ab,A=60,B=45.,C,4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形 的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A.B.C.D.解析,C,5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B=45，b=，a=1，则C=.解析 ab,B=45,A为锐角.C=180-30-45=105.,105,C,题型一 正弦定理的应用(1)在ABC中,a=,b=,B=45.求角A、C和边c；（2）在ABC中，a=8，B=60，C=75.求边b和

4、c；（3）在ABC中，a，b，c分别是A,B,C 的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求A及 的值.已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断.,题型分类 深度剖析,解,ab,A=60或A=120.当A=60时，C=180-45-60=75,当A=120时，C=180-45-120=15.,(2)B=60,C=75,A=45.（3）a，b，c成等比数列，b2=ac，又a2-c2=ac-bc，b2+c2-a2=bc.在ABC中，由余弦定理得,（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知

5、两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.,知能迁移1 在ABC中，若b=,c=1,B=45,求a及C的值.,C=30,题型二 余弦定理的应用 在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.由 利用余弦定理 转化为边的关系求解.解（1）由余弦定理知,(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.,知能迁移2 已知ABC中，三个内角A，B，C的 对边分别为a,

6、b,c,若ABC的面积为S，且 2S=（a+b）2-c2，求tan C的值.解 依题意得absin C=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C.所以,absin C=2ab(1+cos C),即sin C=2+2cos C,题型三 三角形形状的判定 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.利用正弦定理、余弦定理进行边角 互化，转化为边边关系或角角关系.解 方法一 已知等式可化为 a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B

7、)2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0sin 2A=sin 2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cos Asin B=2b2sin Acos B由正、余弦定理,可得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.,判断三角形形状可通过边和角两

8、种途径进行判断,应根据题目条件，选用合适的策略：（1）若用边的关系，则有：若A为锐角，则b2+c2-a20;若A为直角，则b2+c2-a2=0；若A为钝角，则b2+c2-a20.（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论.,知能迁移3 在ABC中，已知2sin Acos B=sin C，那么ABC一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析 方法一 因为在ABC中，A+B+C=，即C=-（A+B），所以sin C=sin(A+B).由2sin

9、Acos B=sin C,得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.,又因为-A-B,所以A-B=0,即A=B.所以ABC是等腰三角形，故选B.方法二 利用正弦定理和余弦定理2sin Acos B=sin C可化为即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0,即a2=b2,故a=b.所以ABC是等腰三角形.答案 B,题型四 正、余弦定理的综合应用(12分)在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C.(1)求角B的大小；(2)若b=,a+c=4,求AB

10、C的面积.(1)用正弦定理,将边用角代换后求解.(2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.解（1）在ABC中，由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入(2a-c)cos B=bcos C,解题示范,整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B,4分即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,在ABC中，sin A0,2cos B=1,B是三角形的内角，B=60.6分（2）在ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,8分将b=,a+c=4代入整理，得a

11、c=3.10分,12分,在求角问题中，一般都是用正、余弦定理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2.将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.,知能迁移4（2008辽宁理，17）在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已 知c=2,（1）若ABC的面积等于，求a、b的值；（2）若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求ABC的 面积.解(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于，所以 absin C=,所以ab=4.,(2)由题意得sin

12、(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即sin Bcos A=2sin Acos A,当cos A0时，得sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a,例5已知扇形OAB的圆心角AOB=600，半径为R，在弧AB上有一点P，作PQOA交OB于Q，求POQ面积的最大值。,例6【07高考】,方法与技巧1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的 重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求 解三角形，以及利用它们解决一些实际问题.2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=,中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数.,思想方法 感悟提高

13、,3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由 正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A,可以进行化简或证明.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种 途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.,一、选择题1.ABC的三边分别为a，b，c且满足b2=ac，2b=a+c，则此三角形是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析 2b=a+c，4

14、b2=（a+c）2，又b2=ac,(a-c)2=0.a=c.2b=a+c=2a.b=a，即a=b=c.,D,定时检测,2.ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且 cos 2B+3cos(A+C)+2=0，b=,则csin C等于（）A.31 B.1 C.1 D.21 解析 cos 2B+3cos(A+C)+2=2cos2B-3cos B+1=0,cos B=或cos B=1(舍).,D,3.ABC中，AB=,AC=1,B=30，则ABC的 面积等于（）A.B.C.D.解析 C=60或120.(1)当C=60时,A=90,BC=2,此时,（2）当C=120时，A=30，,D,4.（2

15、008四川文，7）ABC的三内角A、B、C 的对边边长分别为a、b、c.若 A=2B，则cos B等于（）A.B.C.D.解析 由正弦定理得,B,5.（2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tan B=ac，则角B的值为（）A.B.C.D.解析(a2+c2-b2)tan B=ac,D,6.在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c,若 b2+c2-bc=a2,且,则角C的值为（）A.45 B.60 C.90 D.120 解析 由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,C,二、填空题7.（2009上海春招）在ABC中，若AB

16、=3,ABC=75,ACB=60，则BC=.解析 根据三角形内角和定理知 BAC=180-75-60=45.根据正弦定理得,8.在ABC中,AB=2,AC=,BC=1+，AD为边 BC上的高，则AD的长是.解析,9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积（b2+c2-a2），则A=.解析,三、解答题10.在ABC中，若 试判断 ABC的形状.解 方法一 利用正弦定理边化角.即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B.因为B、C均为ABC的内角，所以2C=2B或2C+2B=180,所以B=C或B+C=90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形.方

17、法二 由余弦定理，得即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2),所以a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=0,所以a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0,所以b2=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,11.在ABC中，角A、B、C 所对边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 求角A 和tan B的值.解 由b2+c2-bc=a2,得,12.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且(1)求角C的大小；(2)求ABC的面积.解（1）A+B+C=180,即7=a2+b2-ab,7=(a+b)2-3ab，由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,返回,