正弦定理余弦定理应用举例要点梳理解斜三角形的常.ppt
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1、4.7 正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法如表所示.,基础知识 自主学习,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 叫仰角,目标视线在水平视线 叫俯角(如图).,上方,下方,(2)方位角指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).(3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,正北,基础自测
2、1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60,C点的俯角是70,则BAC 等于()A.10 B.50 C.120 D.130 解析 由已知BAD=60,CAD=70,BAC=60+70=130.,D,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔 A在观察站北偏东40,灯塔B在观察站南偏 东60,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10 解析 灯塔A、B的相对位置如图所示,由已知得ACB=80,CAB=CBA=50,则=60-50=10.,B,3.在ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC 上的高为()A.B.C.D.解析
3、由余弦定理可得:,B,4.ABC中,若A=60,b=16,此三角形面积 则a的值为()A.20 B.25 C.55 D.49 解析 由S=bcsin A=220,得c=55.由余弦定理得 a2=162+552-21655cos 60=2 401,a=49.,D,5.(2009湖南文,14)在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则 的值等于,AC的取值范围为.解析,2,题型一 与距离有关的问题 要测量对岸A、B两点之间的距离,选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距离.分析题意,作出草图,综合运用正、余弦定理求解.,题型分类 深
4、度剖析,解 如图所示在ACD中,ACD=120,CAD=ADC=30,AC=CD=km.在BCD中,BCD=45,BDC=75,CBD=60.在ABC中,由余弦定理,得,B,求距离问题要注意:(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,知能迁移1(2009海南,宁夏理,17)为了测量两山顶M、N间的 距离,飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面 内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离,请
5、设计一个方案,包括:指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出);用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤.,解 方案一:需要测量的数据有:A点到M、N点的俯角1、1;B点到M、N点的俯角2、2;A、B的距离d(如图所示).第一步:计算AM.由正弦定理第二步:计算AN.由正弦定理第三步:计算MN.由余弦定理,方案二:需要测量的数据有:A点到M、N点的俯角1、1;B点到M、N点的俯角2、2;A、B的距离d(如图所示).第一步:计算BM.由正弦定理第二步:计算BN.由正弦定理第三步:计算MN.由余弦定理,题型二 与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向 前进40米后,望见塔在东
6、北方向,若沿途测得 塔顶的最大仰角为30,求塔高.依题意画图,某人在C 处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40米,此时DBF=45,从C到D 沿途测塔的仰角,只有B到测试点 的距离最短时,仰角才最大,这是因为tanAEB=AB为定值,BE最小时,仰角最大.要求出 塔高AB,必须先求BE,而要求BE,需先求BD(或BC).,解 如图所示,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40,此时DBF=45,过点B作BECD于E,则AEB=30,,在BCD中,CD=40,BCD=30,DBC=135,BDE=180-135-30=15.在RtBED中,BE=DBsin 15在RtABE中,AEB=
7、30,AB=BEtan 30=故所求的塔高为,解斜三角形应用题的一般步骤是:(1)准确理解题意,分清已知与所求;(2)依题意画出示意图;(3)分析与问题有关的三角形;(4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案;(5)注意方程思想的运用;(6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识.,知能迁移2 如图所示,测量河对岸的 塔高AB时,可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D,现测得 BCD=,BDC=,CD=s,并 在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.解 在BCD中,CBD=-,题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用(12分)如图所示,在梯形 ABCD中,ADBC,
8、AB=5,AC=9,BCA=30,ADB=45,求BD的长.由于AB=5,ADB=45,因此要 求BD,可在ABD中,由正弦定理求解,关键 是确定BAD的正弦值.在ABC中,AB=5,AC=9,ACB=30,因此可用正弦定理求 出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定 sinBAD即可.,解 在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30.ADBC,BAD=180-ABC,于是sinBAD=sinABC=.8分同理,在ABD中,AB=5,sinBAD=,ADB=45,解得BD=.故BD的长为.要利用正、余弦定理解决问题,需将 多边形分割成若干个三角形.在分割时,要注意 有利于应用正、余弦定理
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