代数几何中的认知问题.ppt

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1、代数、几何中的认知问题,何 小 亚 一、关于代数认知的观点 代数是什么？代数认知的发展阶段 二、代数学习中的认知对象和过程 等号/字母/代数式/方程/函数/化简/解方程 三、关于几何认知的观点 几何是什么？几何的教学目的？四、van Hiele的几何思维发展理论 直观/描述分析/抽象关系/形式演绎/严谨,一、关于代数认知的观点,代数究竟是什么的观点，会影响到教师、学生对代数内容的理解。十九世纪上半叶，英国数学家们对代数的本质发生过辩论，提出了有关代数的认识论问题。,算术是研究整数、小数、分数的性质及其四则运算的一门学科。整数运算满足加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；,一、

2、关于代数认知的观点,一、关于代数认知的观点,初等代数研究的对象是代数式的有限次运算和方程的求解。十条规则：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积。,一、关于代数认知的观点,初等代数的基本内容就是：三种数有理数、无理数、复数 三种式整式、分式、根式 中心内容是方程整式方程、分式方程、根式方程和方程组。高等代数研究更多的未知数、更高次的方程。,一、关于代数认知的观点,引进字母表示数数学的发展就实现了由算术向代数的飞跃。,一、关

3、于代数认知的观点,1.代数是什么?代数是算术的推广强调代数对象的起源。在处理量和有关的运算的过程中，算术量的性质化为了一般性的性质。例如：算术中的加法、乘法交换律、结合律在代数中作了一般化处理。局限性：代数中研究的负数、无理数、虚数产生的合理性说明存在问题。因为它们都不是由算术推广得来的，不能用直观测量的方法获得。代数有自己发展出来的法则，如矩阵它不满足乘法交换律。,一、关于代数认知的观点,代数是一个纯符号的体系它可以按照任意规定的法则，在系统中处理任意的符号及其关系。弊端：学生会忽略现实代数情境的意义，把握不到问题的基础。教学中不能让学生产生“代数是符号游戏”的看法，而应帮助他们找到适当的理

4、解问题的立足点。,2.代数认知的发展阶段,一、关于代数认知的观点,Harper的研究认为，学生会随着学习的深入、数学知识的增长和智力的成熟，经历从用字母表示未知量到用字母表示已知量的转变过程。而要达到将字母理解为变量的水平，需要经历熟练使用字母的若干阶段。,二、代数学习中的认知对象和过程,1.等号2.字母3.代数式4.方程5.函数6.化简7.解方程,1.等号“=”,算术与代数中都用到了“=”。但是却有了不同的含义。,1.等号“=”,教学启示：既然代数中“=”表示一种等价关系，那么教学中应引导学生*逆向思考，逆用公式和定义*用整体的观念来看待方程。解方程时，要注意等号两边同时做同一运算。,解方程

5、:2x+3=5+x解：由2x+3=5+x 2x+3-3=5+x 2x=5+x-3 2x=2+x 2x=2+x-x 2x-x=2 x=2,错误分析：没有在等号两边同时 作同一运算.原因：把等号看成是个“隔离”符号，每一步只单独考虑左边或右边的运算，忽略了等号所表达的平衡关系。,2.字母,字母在代数中的使用类似于数学史中的情况。最初是用字母表示未知量，而后是用字母表示已知量。最后是要将字母理解为变量，函数中的自变量，或一个集合中的任意一个元素。,字母表示数的发展历史 1700多年前，古希腊 用 来表示未知数 公元7世纪，印度 用颜色的名称来表示未知数 中国古代用字“元”表示未知数，“太”表示已知数

6、 法国数学家韦达（代数学之父）1591年用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知数，这成为对传统记号的根本改革。笛卡儿 1637年 用字母a,b,c,代表已知数，用x,y,z 代表未知数，初步建立了代数符号系统。荷兰数学家赫德1657年 提出字母可以表示正数，也可以表示负数,2.字母,英国的CSMS小组对3000名13至15岁的学生做过调查研究，区分出学生使用字母的6个水平：a)给字母赋值 一开始就要用数值来代替字母使用b)忽视字母的意义 字母被忽略，或是只承认它，但不给它任何含义。,2.字母,c)视字母为具体对象 字母是具体对象的表示记号，或者就是对象本身。属于b)、c)两个水平的学生总数比例

7、：13岁的学生有73%，14岁中有59%，15岁中有53%d)视字母为特定的未知数。字母是一个特殊的未知量，可以对它作运算.（人数较多）,2.字母,e)视字母为广义的数 字母可以代表几个数，且不一定是未知量.（人数较少）f)视字母为变量 字母代表一个范围内的非特定的数，而且在两组数间可能存在一定的关系。（人数更少）,3.代数式,代数式形式上由数字、字母和运算符号等等串联而成。代数式在代数中及在算术中的最大差别：代数表达式是一种形式表达式，将给定的量之间的运算及关系表示成一般化、概括化的形式，用来代表普遍的情况。在算术中，算式只是一个特定情境的表示，它要依靠直观知识、实际经验，不是解决一般情况的

8、问题。,3.代数式,在算术中，数与符号连接成式子，人们所注意的是算式过程要得到的结果，但代数重视的是算法过程本身的意义，过程本身是被考虑的对象。例如，在求边长分别为2x与3x的矩形的周长时，代数层次：2（2x+3x）或2（2x）+2（3x）算术层次：10 x,关注算式结果的算术思维 影响代数式的学习,如：对代数式x2-5xy+4y2进行因式分解时错解一：x2-5xy+4y2=(x-4y)(x-y)=x2-4xy-xy+4y2=x2-5xy+4y2=错解二：x2-5xy+4y2=(x-4y)(x-y)=0,错误分析：学生还不清楚因式分解的含义。应该是把多项式化成几个整式的积的形式。更深层的原因是

9、：学生受到了算式得算出结果这种思维的影响，总觉得应该继续往下做。当不知道如何继续的时候就随便找个常见的数写上去。,4.方程,方程集字母、代数式、等号为一身，并集中体现了代数概念的过程和对象，算法和结构的二重性。建立方程，就像是把一种语言翻译到另一种语言。把量之间的等价关系用符号表示出来。采用算术方法与代数方法解应用题时，所考虑的对象是不一样的：思考的目的是不同的；在选择用什么样的运算时也有很大差别。,4.方程,文字表达 求一个数 它的3倍 与4的和为40,代数语言 x 3x 3x+4=40,例如，4加上一个数的3倍，和为40，求这个数.代数解法：叙 述 题 目,算术解法：选用“逆运算”。和，用

10、减法；3倍，用除法。由此得到这个数等于(40-4)3=12两种方法的区别：算术是逆向思考，考虑的是用什么运算；代数是正向思考，用字母表示变量及其关系.,5.函数,函数既可以当作过程，也可以当作对象。过程，即是由一个量去求出另一个相关的量，是联系定义域、值域之间的对应关系。对象，则是一种特定结构，可以被运算，如平移，放缩，求导等。例如，要画出它的图象，可用描点法，也可用平移、放大的方法。,5.函数,函数概念经历了由过程到对象的发展过程.函数的定义：从“变量”观点“映射”的观点“关系”的观点人类对函数的认识经历了：数量的依存关系 抽象的数学结构 不加定义的“点”（如函数空间中的元素）如连续函数空间

11、Ca,b：指的是定义在a,b上的连续函数的全体.,函数是一种特殊的，即称为自变量与因变量的两个变量之间的依存关系。但课堂上常常强调了结构性而不是它的过程性。然而，调查表明大部分中学生是用过程的观点来理解函数的。,5.函数,5.函数,函数教学包括了表示各种水平的过程性的或结构性的表象：映射图、公式、有序实数对、表格、笛卡尔平面图象。用数学语言可以将函数关系表示成三类：几何表示：图象，图画，直方图，曲线图；算术表示：数，表格，序偶；代数表示：字母、符号，公式，映射。,根据Sfard的分析，图象是结构性概念的表象，代数表达式是运算性概念的表象,5.函数,Dreyfus和Eisenberg 研究调查了

12、440名6至9年级学生的函数概念的直观基础。结果表明：能力强的学生喜欢从图像来分析问题，能力弱的学生则喜欢从表格数据来分析。可能原因：能力弱的学生较易从表格中找到信息，而从图像中找信息可能难一些，不那么直观。,5.函数,Markovits等人另一项研究比较全面地指出了函数学习中常见的问题：（1）学生在遇到的各种性质的问题中，有三类函数比较难掌握：常数函数、分段函数和由离散点表示的函数.（2）学生对象和原象的概念和表示，不论是以代数方式还是几何方式表示，往往只能部分地掌握.（3）学生常常会忽视函数的定义域、值域.,（4）学生手头具有的函数例子，常只限于图象和 代数表达式，而且是代数形式偏多一些.

13、（5）学生的由图象化为代数表达式的能力，要比 由代数表达式化为图象的能力差.（6）有关函数的比较复杂的操作技巧是学习的难 点.（7）学生在描画图象时，会受到线性图形的影响.（8）上述许多难点，在由约束条件定义的函数的 问题中也有不少表现.,6.化简,化简中最常见的错误是有关代数的句法，即代数运算法则方面的错误。如果学生对代数符号和表达式的领会只是停留在概念的过程水平上的话，那么面对表达式意义的二重性，以及化简过程的基本法则或性质，就会产生各种误解。,1.缺少整体观念；2.在求绝对值的过程中形成了经验：绝对值就是取正。3已经是正的了，只要将x取正即可.,6.化简,有些学生已经掌握一些化简的技巧，

14、但不能将化简的方法迁移到其它问题上，认识不到法则的一般性。如多项式的化简与含根式的代数式的化简有些学生又过分地推广代数运算法则，深层的原因是思考停留在算术水平上。出错原因:把字母看成具体对象的标记，先按算术法则计算，再标上字母,7.解方程,解方程的学习过程中，存在着不同认知水平的方法直接利用有关算术的结论；数数的方法；代入法；（尝试-错误方法）直观法；两边作同一运算；移项法。,形式法 代数功能,算术功能,转变,使用形式法存在的问题,喜欢用移项解方程的学生并不一定能认识到移项的真正来源，有不少人只是照着做罢了。学习了形式法，就放弃了代入法，连根的检验也放弃了。学习了形式法，放弃了直观法。形式技巧

15、妨碍了学生的直观能力。例如：解方程,真正的原因是学生不能将看成是一个数，缺少整体数的眼光。,三、关于几何认知的观点,1.几何是什么 2.几何教学的目的,1.几何是什么,数学教师和师范学生眼里的几何 34%：几何学讨论的对象是物质世界。局限：对于抽象的概念难以理解，如，直线上的点有无限多。15%：几何关心的是由假设出发进行演绎而得的结论，几何对象不是客观存在的。已接近于形式主义的观点。47%：几何对象是纯粹抽象的对象，只存在于抽象世界中。,1.几何是什么,以数学家和哲学家的眼光 作为研究空间的科学，或是一种逻辑结构，学生从中体会数学结构.建构主义者认为 几何是人头脑中由心理构造的产物.,上述各种

16、观点是有联系，可看作是认知发展中的不同水平。几何学习是从接触、观察、了解物质世界的对象开始的。然后对图形及其元素进行分析，形成空间概念，直到学习演绎推理，寻找命题、公设、公理、定义之间的关系，从中感受几何结构。当到了形式主义水平时，几何就不需要现实环境了，它变成了纯形式的结构的科学了。,1.几何是什么,2.几何教学的目的,几何被人们称为21世纪教育的头等重要的学科。两个主要原因：1.它在现代科技领域中发挥了极其重要的基础作用和广泛的应用作用；2.空间能力能促进科学地思考、直观判断、表达并操作信息，使人们更容易地探索并把握问题的实质。,2.几何教学的目的,中学阶段几何教学的目的侧重于两个方面：1

17、.将几何看成是逻辑结构，重视演绎推理的学习，形成数学体系；2.从空间科学角度看待几何，学习平面、空间中的几何对象及其性质、关系，培养空间想象能力和空间推理能力。,2.1 空间能力的本质,Gardner,Bishop等指出空间能力本身的任务是精确地感知形象世界,对最初的感知进行变换和修正,在相关的物理刺激不出现时对形象经验进行再创造.他们指出,空间能力主要是指空间定向和空间想象.,2.1 空间能力的本质,空间能力=空间定向+空间想象。空间定向是指人们对当前所处的环境和地方的认识能力。如方向感。空间想象是指能够在二、三维空间的条件下对想象的物体运动，如反射、平移、旋转等操作和综合；能够把抽象的关系

18、转换为视觉的表象，并对表象作形象的操作处理。,标准对空间观念的要求,空间观念是主体对空间物体感知、思维的结果.能在实物与图形间互译，能在几何体与其三视图、展开图间进行转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观进行思考.,2.2 空间概念的认知机制,认知机制主要有两种：表象图式；比喻.表象图式：感知与客体的交互作用和动态过程，在头脑中再现，形成表象图式。例如，在现实生活中看了旗杆跟地面的位置关系，在头脑中就形成线与面垂直的表象

19、。,2.2 空间概念的认知机制,比喻：即推广的理解方式。将一个领域内的模型“投射”到其他领域内的不同对象上，用以领会新经验、新知识。例如，将一元二次方程的解描述为平面上一条抛物线与x轴的交点的横坐标。表象图式是比喻机制的基本源泉。通过比喻，我们由实际经验中形成的模式去组织更抽象的理解。,四、van Hiele的几何思维发展理论,由荷兰学者Van Hiele 夫妇1957 年建立了几何思维层次理论.将学生几何思维发展“依序由视觉辨认的基本层次发展至高层次严密系统的严密逻辑推理”五个层次：直观层次(visual)描述、分析层次(descriptive)抽象、关系层次(theoretical)形式演

20、绎层次(formal logic)严谨层次(the nature of logical laws),1.直观层次(视觉层次）,学生依据几何图形的外表形状来确认和操作几何对象，图形表象是其反应的标准。没有意识到对象的几何性质和本质特征。这一水平的学生依据直观的图形表象进行推理。他们能区分不同的图形，但不能确定性质属性。例如，他知道矩形、正方形、菱形和平行四边形，也会画这些图形，但并未把握它们的内在性质，对它们的理解是孤立而不相联系的。,2.描述、分析层次,学生通过观察、度量、画图、建造模型等方法来寻找图形的性质，并遵照一组性质将图形看成一个整体。心理反应的标准不只是图形表象，更多的是性质组合图式

21、。这一层次的学生能理解一组性质能说明一类图形，但尚未能看出几类图形间的关系.例如，他知道矩形有四个直角、对边相等、对角线相等，但他并未深入追问这些性质互相之间是否有什么联系?对这些性质的掌握只限于各种现象的罗列；再比如他完全知道一般的平行四边形和矩形一样也具有对边相等的性质，但他并未想到矩形概念应该从属于平行四边形概念。,3.抽象、关系（理论）层次,能形成抽象的定义，能区分概念的必要条件和充分条件，能理解，甚至作一些逻辑推理。能根据性质，按层次将图形、对象分类，能给出非形式的推理证实这种分类。能由非形式演绎发现图形的性质。例如，他知道矩形的定义，也能知道正方形是矩形，也是平行四边形；他还可以以

22、平行四边形的某个性质为出发点，以推出其他的性质；但他还没有掌握整体的逻辑联系，还不知道哪些概念是基本的，而另一些性质却是派生的。,四边形的内角和是360这一性质的得出,4.形式演绎层次（形式逻辑）,可以在公理系统中建立起定理，能认识到定义、公理、定理以及未定义的对象之间的差别，会做证明，能从已知出发做出一系列的命题，用逻辑方式证明某个结论，并以形式推理来解释几何的公理、定理等。例如他会从不同的定义出发来研究平行四边形的所有性质与特征构成的整个系统，甚而揭示各种定义的等价性，他也能理解哪些事实必须当作公理而接受，再在此基础上导出所有合乎形式逻辑的结论。,5.严谨层次（逻辑法则的本质）,能在数学系

23、统中作形式推理，能够在参照的数学模型不出现的情况下研究几何，能够通过对几何命题的形式操作进行推导。例如他能比较各种公理体系，并能不用具体的几何模型来研究各种几何学。也只有在达到了这一水平的基础上，才能进而将公理化思想渗透入数学的各个不同分支，从而使数学形成一个严谨而完美的形式逻辑演绎体系，暂时离开它所依据的具体现实、客观事实，而从内在的逻辑联系中，进一步探讨数学科学的深奥的本质结构。,van Hiele认为，,学习不是一个连续的过程。学习发展是一个跳跃的阶段过程。思维能力在某一个水平上要停留一个时期，这些水平是分先后顺序、分层次的。水平间的发展，不是靠年龄、成熟，主要是依靠教学来推动。学生可以

24、通过若干教学阶段取得进步，但不能越过某一层次而向高层次发展。,van Hiele的几何学习教学阶段理论,阶段1：查询阶段2：受指导的定向阶段3：明了阶段4：自由定向阶段5：综合,van Hiele的几何学习教学阶段理论,1.查询：教师让学生谈论学习的对象，了解学生怎样解释有关名词，让他们对所学的课题有所了解，运用课题中有关的语言和对象提出问题，进行观察，并设立进一步学习的步骤。2.受指导的定向：教师仔细地为学生的探究活动作出安排，使学生能开始认识到学习的方向，并熟悉特定的结构。,van Hiele的几何学习教学阶段理论,3.明了：学生遵照教师的最低要求，利用以往的经验，运用恰当的词语来表达对结

25、构的看法，但学生不是被动说明，而是主动观察。4.自由定向：学生将要接触多个步骤的问题，或是要求用不同方法去解的问题。通过在一定范围内自己定向，寻找方法解决问题，并积累经验，将学习对象之间的许多关系弄清楚。,van Hiele的几何学习教学阶段理论,5.综合：学生反省，讨论自己的理解和方法，形成总体看法，将对象和关系组织起来，内化为思考的新的领域。教师可以向学生提供有关知识的总体思想、总体评述，给学生适当的帮助，但应该注意不要提出新的或不太统一的概念和观点。,van Hiele学习理论的基本观点：,学习是一个由下而上，由低到高的循序渐进的过程，无论是学习中的表现，还是学习的结果，都须由浅入深。整个过程是发展的阶段和连续的发展相统一。5个思维水平和5个学习阶段相互联系，相互依赖。划分水平层次的目的，是为了正确估计学生的实际认知水平，认识其思维现状，用以分析和诊断其学习障碍。,问题与思考,1.试谈谈您对初等代数与高等代数的认识2.如何理解代数式的本质？3.几何就是证明吗？几何的教育价值是什么?,