机器人原理与应用.ppt

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1、,东北大学人工智能与机器人研究所2016.9,第三章 机器人坐标系统,2,机器人是个复杂的运动系统，它的每一个动作都是各个元部件共同作用的结果。,3,3.1 位置与姿态 3.2 正交坐标系 3.3 运动坐标表示 3.4 齐次坐标变换 3.5 机器人坐标系统,为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。,4,要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度和三个姿态自由度。前者用来确定物体在空间中的具体方位，后者则是确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。,如果H为手坐标系，用以描述手的姿态，那再加上手的位置就构成了手的位姿

2、。,3.1 位置与姿态,一般姿态的描述可以用横滚（Roll）、俯仰（Pitch）和侧摆（Yaw）三轴的转角来实现。,5,飞机飞行姿态变化,6,3.2 正交坐标系,3.2.1 正交坐标系及矢量的基础知识,右图是所谓的正交坐标系B(x,y,z)，用来表示机器人的基坐标，其中,分别是三个坐标轴的单位向量。B系中有另外一个坐标系H（xH，yH，zH），用来表示手坐标,其中,分别是H系三个坐标轴的单位向量。,z,y,x,B,H,H,z,H,x,H,y,a,n,o,i,j,k,P,端点P相对于机器人手坐标系H,及基座坐标系B的定位,7,3.2.1.1 正交坐标系的性质,单位矢量,在基坐标系中可表示为:,根

3、据矢量点积和叉积的性质，对于相互正交的单位矢量，有,对于单位矢量,也有同样的性质。,其中是a和b两矢量间的夹角，如图3-2所示。,矢量的点积（内乘积或标量积）,换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量方向上单位矢量的点积。,再令a=j（j 为a方向上的单位矢量），则,即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。,图3-2标量积,令b=i（i为b方向上的单位矢量），则,矢量的叉积（矢量积或叉乘积）,其中矢量c的模为:,其中是a和b间小于等于1800的夹角，若将a按右手法则绕c转角至b，右手拇指指向为c的正方向（如图3-3），c与a、b两者垂直。,则,图3-3叉乘积,a和b

4、的点乘为：,将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：,2008-7,11,令矩阵 R称为正交坐标变换矩阵。,当用列向量表示单位矢量时，有,于是，变换矩阵R可以表示为：,当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有,12,正交坐标变换矩阵R的性质,显然,于是可得,1,-,=,R,R,T,13,3.2.1.3 正交坐标变换矩阵的几何意义,上式可写成,其中,考虑到,上式表明正交坐标变换矩阵R实现了由手坐标系H到基坐标系B的正交坐标变换，它可以将一组3个相互正交的单位矢量变换为另一组3个相互正交的单位矢量，每一组单位矢量均代表了一个正交坐标系。这也说明了将矩阵R称为正交坐标变换矩阵的原因。在机

5、器人学中经常要用到这种正交坐标变换。,14,3.2.2 位置的描述,一旦建立起一个坐标系，我们就可以用3维的位置矢量来确定该空间内任一点的位置。其中，x、y、z是p点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量。用这种方法可以很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。,姿态的描述,物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在空间中除了有参考坐标系B外，还有物体质心上的一个笛卡尔正交坐标系H，且H系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那么就可以以H系三个坐标轴的单位矢量相对于B系的方向来表示H系和B系的姿态。,15,16,假设 为H坐标系中某轴的单位向量，即它在B坐标系的方向可以以 与B

6、系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图.,故有,j,l,g,x,y,z,k,B,l,l,a,l,b,i,矢量的方向矢径表示,由：,且：,17,因此正交坐标变换矩阵R为一方向余弦矩阵，也被称为旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。,根据前面的推导可得：,当：,b)姿态（方位）的描述,采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位），即由B系的三个单位主矢量相对于坐标系A的方向余弦组成：,既表示了刚体F在A系中的方位，也描述了B系在A系中的姿态。,其中：,xB yB zB,xA yA zA,19,3.3 运动坐标表示,平动的坐标表示,设手坐标系H与基坐标系B具有相同的姿态，但H系坐标原点与B系的原点不重合。

7、用矢量 来描述H系相对于B系的位置（如右图所示），称 为H系相对于B系的平移矢量。如果点p在H系中的位置为，那么它相对于B系的位置矢量可由矢量相加得出，即,称其为坐标平移方程。,20,下面以绕z轴转动 角为例来研究绕坐标轴转动某个角度的表示法。设H系从与B系相重合的位置绕B系的z轴转动角，H系与B系的关系如右图所示。,3.3.2 转动的坐标表示,(1)绕坐标轴转动某个角度的表示法,21,若将H系的3个单位矢量表示在B系中，则有：,实现两个坐标系之间转动关系的矩阵，又叫转动矩阵R，可表示为：,，,，,22,同理，可以得出当绕X轴旋转时：,当绕Y轴旋转时：,上面的分析说明了R矩阵可以用来表示绕坐标

8、轴的转动，这表征了R矩阵的另一种几何意义。,因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转角的旋转矩阵：,x y z,xyz,x y z,xyz,x y z,xyz,24,设B系与H系的z轴相重合，B系绕z轴转动角 就得H系，如下图所示。,(2)两个坐标系的投影之间的关系,P,25,已知矢径 在H系三轴投影分别为u,v,w。则由上图可知,由上式可见，R矩阵可以将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上的投影，这表征了R矩阵的又一种几何意义。,于是有,（）,例3.1 若从基坐标系(B)到手爪坐标系(E)的旋转变换矩阵为。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑E的原点位置）；（2）如果

9、给出OE(E系的原点）在B中的位置矢量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系。,解：,xE yE zE,xB yB zB,(1),(2),27,(3)具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系,设矢量 在坐标系Bxy的投影为u，v，w；将矢量 绕z轴转动 角，得到矢量，设矢量 在同一坐标系的投影为x,y,z，如下图所示。,y,28,y,如果注意到 在x,y轴的投影相当于 在 轴的投影，再对比6页和9页的两个图所示的相同几何关系，便可得到与式（）相同结果，只是此时的u，v，w与x，y，z同前面讨论的情况的几何含义不同。这时矩阵R用来表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之间的关系，这表

10、征了R矩阵的最后一种几何意义。,29,至此，归纳了R矩阵的四种几何意义：1、实现了由手坐标系H到基坐标系B的正交坐标变换。2、用来表示绕坐标轴的转动。3、将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上的投影。4、表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之间的关系。这对于认识R矩阵的本质，研究机器人的坐标系统很有帮助。,30,3.3.3 复合运动的坐标表示,基坐标系B和手坐标系H 的原点不重合，而且两坐标系的姿态也不相同的情况。,31,对于任意一点P在B和H系中的描述有以下的关系,其中，,是 p 点相对于B系的位置矢量。,至此，我们由浅入深地介绍了物体的基本宏观运动在坐标系中的表示方法，

11、这是我们学习机器人复杂运动的最基本的数学工具。在后续章节中会频繁地用到。,再由式(rp)，可得复合变换,可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，规定一个过渡坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B系保持一致。根据式（）可得由H系到过渡坐标系C的坐标变换为,其中，,是点P 在C中的位置矢量。,(rp),例3.2 已知坐标系B初始位姿与A重合，首先B相对A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动10个单位，并沿A的yA轴移动5个单位。求位置矢量 和旋转矩阵。若,求。,解：,所以有：,最后得：,34,3.4 齐次坐标变换,齐次坐标的定义和性质,齐次坐标的概念,用四个数所组成的列向量 来

12、表示三维空间中的一点，这两个坐标向量之间的关系是:，则 称为三维空间点 的齐次坐标。通常情况下取w=1,则 的齐次坐标表示为。,一般说来，以（N+1)维矢量来表示N维位置矢量，称为齐次坐标表示法。,35,3.4.1.2 齐次坐标的性质,（1）齐次坐标的不唯一性 所谓不唯一性是指某点的齐次坐标有无穷多点，不是单值确定的。例如 是某点的齐次坐标，则 也是该点的齐次坐标。,（2）齐次坐标的原点和坐标轴 根据齐次坐标的定义，齐次坐标 表示坐标原点，而，分别表示OX轴、OY轴和OZ轴的无穷远点，即表示直角坐标的OX轴、OY轴和OZ轴。,36,则有,其中，,（）,37,齐次变换和齐次矩阵,在引入齐次坐标之

13、后，现在我们来看如何用齐次坐标来表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔坐标系统表示出了物体的复合运动，最后得出了 的结论，它表示了 由到 的变换。现在我们利用齐次坐标来表示出上式：,38,A矩阵称为齐次矩阵（Homogeneous matrix）,在机器人学中是个重要的术语，它将转动和移动组合在一个44矩阵中。其中 为33的转动矩阵，为13的零阵，为表示移动的31的列阵。接下来我们将利用齐次矩阵来表示物体的运动。,39,利用齐次矩阵表示平移变换,设向量，要和向量 相加得V，即（）,欲求一变换矩阵H，使得U经过H变换之后变成向量V，即（）考虑到式（）和式（）等效，根据式（）可知,平

14、移变换就是用于两个向量的相加。,40,此变换矩阵有一性质就是它的每一个元素乘上一个非零的元素后不会改变这个变换。,由此可知得,41,利用齐次矩阵表示旋转变换,根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕X，Y，Z轴旋转一个角度的相应旋转变换是,纯旋转的齐次变换矩阵中P31为零矩阵，即，因此写出绕x，y和z轴旋转角的基本齐次变换矩阵为：,纯平移的齐次变换矩阵中R33=I33（单位阵），因此可以写出沿x，y和z轴移动Px，Py和Pz单位的基本平移变换阵：,43,例如，已知一个向量U绕Z轴旋转90变成V，则用旋转矩阵表示为,如，一个向量U 先后绕X、Y轴分别旋转90、60得到V，用旋转矩阵表示为,44,利用

15、齐次矩阵表示旋转加平移变换,把上述两种变换结合起来用齐次矩阵表示，这时的齐次变换矩阵就是,45,可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵 和表示平移的列阵 确实是分离的。,注意，一般情况下,46,利用齐次矩阵表示手的转动和移动,手的转动可以表示为绕X轴的侧摆，绕Y轴的俯仰 和绕Z轴横滚，依次构成的复合转动，采用简化符号，则有,47,上式表示了手的转动运动。如果手除了转动运动以外还可做移动运动，只需将上式中齐次矩阵的第4列用表示移动的矩阵块 来代替，便可得到包括3个转动和3个平动的6自由度运动的齐次矩阵。,48,齐次变换的性质,变换过程的相对性相对变换,前面所介绍的所有旋转和平移变换都是相对于参考坐标系B

16、系而言的。例如 上述的变换过程是：手坐标系H首先绕着基坐标系B旋转，然后平移。这种变换的顺序是从右向左进行的。这样的过程也可以以相反的顺序进行，即从左向右进行。此时可以理解为首先手坐标系H在基坐标系B 中平移 然后绕当前的手坐标系H的 轴旋转。,49,一般的变换过程可以分两种情况：,(1)如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，左乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于静止坐标系进行的。,(2)如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，右乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于运动坐标系进行的。,相对于固定坐标系运动,相对于活动坐标系运动,51,3.4

17、.3.2 变换过程的可逆性逆变换,在机器人学中很多时候要用到齐次变换矩阵的逆阵，下面我们将推导齐次变换矩阵的逆阵求法。,由此可见,将上两式表示成矩阵的形式，即,52,变换过程的封闭性-变换方程的建立,在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。,（1）机器人 变换Z：参考坐标系U 基坐标系B 变换A：基坐标系B 手坐标系H 变换E：手坐标系H 加工工具T（2）变位机 变换P：参考坐标系U 变位机V 变换Q：变位机V 被加工件W,53,这种联系亦可由一有向变换图表示，见右图。,如果我们希望解上述方程，求出变换A，就必须对方程左乘，然

18、后右乘，得到 实际上，可以从封闭的向变换图的任一变换开始列变换方程。从某一变换弧开始，顺箭头方向为正方向，逆箭头方向为逆变换，一直连续列写到相邻于该变换弧为止（但不再包括该起点变换），如果包括该起点变换，则得到一个单位变换。,旋转变换通式,一.旋转变换通式,令 是过A系原点的单位矢量，求绕K旋转角到B系的旋转矩阵R(K,)，即。,因此,将上式展开得,图3-11 尺寸链图,把上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质,进行化简整理后得,其中，s=sin;c=cos;Vers=(1-cos)。,如果 与坐标轴重合，则可得到绕x,y和z轴旋转的基本旋转矩阵。,二.等效转轴与等效转角,对于给定的旋转矩阵R

19、,令R=R(K,)，得,任何一组经过有限次基本旋转变换后的复合旋转总可以等效成绕某一过原点的轴线转角的单一旋转。,将方程两边的主对角线元素分别相加，得,于是可得：,再把方程两边的非对角元素成对相减得：,将上式两边平方后再相加得：,于是：,两点注意:多值性：K和的值不唯一。实际上，对于任意一组K和，都对应另一组-K和-，(K,)和(k,+n360)对应的转动效果相同，的取值也有多种，一般取在0到180之间。,例：求复合变换 的等效转轴k和转角。,病态情况：当转角很小时，转轴难确定；当接近0或 180时，转轴完全不能确定，需另寻解法。,60,3.5 机器人坐标系统,机器人坐标系统的构成,如何将螺栓

20、拧入螺母这样一项简单的工作,在每个人看来都是非常容易的。而机器人必须规划出每个关节的运动过程和运动轨迹，而这样的轨迹是相对于每个关节所对应的坐标系而言的。除此之外，还需要为工件和周围环境定义出坐标系统。,（1）机器人自身的坐标系（2）作业工件和变位机的坐标系（3）作为共同参考的世界坐标系 其中，世界坐标系是联系前两种坐标系的纽带。下面我们举一个例子来说明如何建立机器人的坐标系统。,61,变换方程的建立,机器人变换方程的建立主要是根据上一节所介绍的齐次变换的封闭性。接下来将利用右图来说明如何建立变换方程。,设由P系到U系的变换矩阵为，由B系到U系的变换矩阵为，由H系到B系的变换矩阵为，由E系到H系的变换矩阵为。,B,U,B,U,T,H,H,B,T,E,P,P,U,T,E,P,T,E,H,T,操作机坐标系及变换方程的建立,62,于是，固定在钻头端点处的工具坐标系E系相对世界坐标系U系的位置可表示为 另一方面，由P系到U系的变换矩阵为，由E系到P系的变换矩阵为，工件上孔的位置（即E系）相对于U系的位置为（）由以上两个公式可得 式（）即所谓的机器人的变换方程。解此方程，由上式左乘，右乘，则得 由此可以求出手坐标系相对于基坐标系的变换矩阵，于是便可以知道手相对于基座处于何种姿态时，便可以完成在工件上的钻孔工作。,63,The End of Chapter 3,