有限单元法应用中的若干实际考虑.ppt

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1、1,2,主 要 内 容,5.1 引 言,5.2 应力计算结果的性质与处理,5.3 子结构法,5.4 结构对称性与周期性的利用,5.6 小 结,5.5 非协调元与分片试验,3,5.1 引 言,1.有限单元法的求解过程,（1）划分单元，输入节点和单元信息,前处理器,（2）单元分析：N、Ke、Pe,（3）整体分析：,引入位移边界条件，得到,（4）求解方程 得解a,（5）计算单元或节点的应力、应变。,求解器,后处理器,的可视化表示。,4,2.目前存在的问题,（1）,的精度较低。,如何由应力、应变结果的特点改善其精度？,（2）,如何利用结构的几何特点、受力特点简化计算，减少工作量，提高计算效率？,（3）

2、,如：结构与受力的对称性、周期性结构等；,子结构法；,非协调元概念与应用,（Wilson非协调元）。,5,5.2 应力计算结果的性质与处理,应力、应变的计算：,精度较低。,误差的原因：,（1）,单元内平衡方程不能精确满足；,（2）,单元交界面上应力不连续；,（3）,边界上边界条件不能得到精确满足等；,5.2.1 应力近似解的性质,1.位移解 a的性质,a有限元近似解，,a 真实解,由最小位能原理，可知，a具有下限的性质：,原因：单元离散等相当于加大了原结构的刚度。,6,2.应力、应变解、的性质,设u、近似解，,u、真实解，有,近似解对应的位能：,P(u)实际的总位能,P(u)=0,2P(u),

3、7,在线弹性下，有,对于一具体问题，P(u)应为一定值，,则 P(u*)的极值问题归结为：,2P(u)的极小值问题。,将2P(u)表示成单元位能泛函的形式，有,8,上式表明：,2P(u)的极小值问题,求解,的加权,二乘最小值问题。即,、为、在加权（D、C）最小二乘意义下的近似解。,、的特点：,（1）、在真正解、上下振荡；,（2）在某些点上有：=、=，即存在最佳应力点。,利用、的上述特点，作适当处理，可提高应力、应变结果的精度。,9,5.2.2 等参元的最佳应力点,如前所说，用位移法进行有限元应力分析归结为求泛函(,)的极小值问题，即,利用弹性力学的几何方程和物理方程，有,可见：,若近似解 u*

4、是 p 次多项式，L为 m 阶微分算子，则,为n=pm 次多项式。当Jacobi行列式为常数时，中被积函数为 2n 次多项式，因而要使它们能够精确积分，至少应采用 n+1 次Gauss积分。也就是说，真实应力为 n+1 次多项式时，数值积分仍为精确的。即有下式精确成立：,10,假设每一单元中的高斯积分点上 i(i=1,2,ng)的每一分量的变分是独立的，则上式成立等价于,或,也就是说，即使真实应力 为 n+1 次多项式，仍有近似应力等于真实应力。可见，若取n+1阶积分，则在积分点上具有比其本身高一阶的精度。,对，也有同样的性质。,结论：,在等参单元中，单元中 n+1阶（n=pm）Gauss积分

5、点上的近似应力比其它部位的应力具有较高的精度。,称 n+1阶Gauss积分点为等参元中的最佳应力点。,11,5.2.3 单元平均与节点平均,1.问题的提出,有限元求得位移解（节点位移）a*后，其单元应力为,（1）通常为单元局部坐标的函数；,（2）相邻单元边界上应力不连续，存在突跳现象；,（3）结构边界上应力与边界条件不符，等；,工程实际问题，通常对单元的边缘和节点的应力分布较关注，所以，需要对应力结果作处理。,应力结果的处理方法：,相邻单元平均；绕节点平均；应力磨平；利用边界条件修正等,2.取相邻单元应力的平均值,适用于3节点三角形单元（常应力单元）。,（1）算术平均：,12,（2）面积加权平

6、均：,设单元 j 的面积为 Aj，节点 i 的应力为：,3.取围绕节点各单元应力的平均值,对6节点三角形单元、四边形单元等，单元内各点的应力各不相同，设各单元在节点 i 处的应力为,则，节点 i 处的平均应力为,m 围绕节点 i 周围的全部单元数,13,5.2.4 总体应力磨平,(1)基本思想,有限单元解得到的单元应力分布特征,构造一改进的应力解,此改进解满足:a)在全域上连续；b)与有限元求得的应力解符合加权最小二乘原则。,式中：,M 单元总数；待求的应力改进值，它在单元内的分布可插值形式得到，如,式中：,i 为待求的改进后节点应力值；ne 单元的节点数；,插值函数矩阵；可与位移插值函数相同

7、，也可不同。,(2)总体应力磨平法,建立如下泛函，并取最小值,14,有限单元解得到的单元应力分布特征,将 代入泛函作变分运算，并考虑到 i 的任意性，得,即：,式中：M 应力磨平所用的单元数。,由此可求出，改进后各节点的应力值。,磨平后的单元应力状况,总体应力磨平的缺点：,计算工作量十分庞大。相当于求解两个有限元问题。,15,5.2.5 单元应力磨平,（1）基本思想,当单元尺寸不断缩小时，单元的加权最小二乘和单元未加权的最小二乘是相当的；另一方面，由于泛函(,)的正定性，全域的加权最小二乘是单元的加权最小二乘的和。,当单元尺寸足够小时，应力磨平可在单元上进行。,（2）单元应力磨平的方法,在单元

8、内建立如下泛函（并令权函数 C=I）,并使该泛函取最小，以此求得改进后的节点应力值。其中改进的应力值仍用节点应力i 的插值表示，即,将上式代入单元泛函,并使其一阶变分等于零，有,也称局部应力磨平,16,或：,由此可求得单元改进后的单元节点应力i，再由单元平均或绕节点平均等方法求得精度较高节点 i 的平均应力。,说明：,(a)由单元应力磨平采用权函 C=I，使得上述方程变为解耦方程，因而求解工作量大大减少。,(b)对等参元，上述方程中的有限元应力解 采用 Gauss 积分点上的应力，则改进后节点应力值精度更高。,17,5.2.6 子域局部应力磨平及外推,基本思想：仅对工程实际问题中感兴趣的区域，

9、如应力集中区域、需专门校核应力的区域进行应力磨平、修正处理。,5.2.7 引入力的边界条件修正边界应力,设有限元法求得单元或节点的应力、应变分量为,它们在边界局部坐标方向的分量为,局部坐标,对此局部坐标有应力、应变关系：,18,令：,由第三式可求得：,代回第一、二式，得修正后应力：,上述结果可对边界应力得到很大改进。,19,5.3 子结构法（简介）,1.基本思想,四层三跨框架结构,单跨横梁结构,对于一工程实际的复杂结构，分成若干个部分，每一部分称为一个“子结构”。,然后，在子结构上划分单元,计算各单元的刚度矩阵、节点载荷列阵,并组集子结构的刚度矩阵、节点载荷列阵。,其次，将得到的子结构刚度矩阵

10、、节点载荷列阵，作自由度凝聚，得到紧缩的子结构刚度矩阵、节点载荷列阵。,最后，将各个子结构紧缩的子结构刚度矩阵、节点载荷列阵，组集成总的结构刚度矩阵、总的节点载荷列阵，引入边界条件后求解。,20,2.内部自由度凝聚,（1）子结构内部节点的位移分量,（2）子结构边界节点的位移分量,需要凝聚掉的位移自由度,自由度凝聚过程：,对图示子结构已建立有限元方程：,子结构的刚度矩阵,分别为子结构的位移列阵、等效节点载荷列阵,交界面上的节点位移,内部及边界节点位移,交界面上的节点等效载荷,内部及边界节点等效载荷,将子结构的方程写成分块形式：,21,由第二个方程求出：,将其代入第一个方程，消去 ai 有,令：,

11、方程简化为：,22,5.4 结构对称性与周期性的利用,5.4.1 具有对称面的结构,对称面上边界条件的确定：,（1）将对称面上位移分量分为对称分量和反对称分量，如：垂直对称面为对称位移分量；与对称面相切为反对称位移分量；,（2）将载荷分为对称和反对称,（3）对称面上边界条件的确定：,（a）对同一对称面，在对称载荷时，对称的位移分量为零。,（b）对同一对称面，在反对称载荷时，反对称的位移分量为零。,23,5.4.2 轴对称体受非轴对称载荷的情况,5.4.3 旋转周期结构,单元划分时注意事项：,在结构形状变化剧烈处，单元设置稠密一些,在载荷变化剧烈处，单元设置稠密一些,24,5.5 非协调元与分片

12、试验(patch test),（1）对边界有良好的适应性,引 言,1.等参元的优点,（2）如同其母单元一样，表达格式简明,（3）具有与母单元同样的收敛性,2.等参元的局限性,其计算精度和效率不够高，具有提高的潜力。,原因：,Ni 中存在不完全的高次多项式，它们对单元精度提高不起作用。如：,（1）4结点四边形单元：,双线性（完全的多项式仅为一次）,就线性的完全多项式而言，仅需3个节点6个自由度即可描述。,25,（2）8节点四边形单元：,二次单元（完全的多项式为二次的）,就完全二次多项式而言，仅需6个节点12个自由度即可描述。多余2个节点。,上述情况，在空间问题中更为严重。,不完全的高次多项式不但

13、不能提高精度，有时可起负面作用。,例如：用二维双线性单元描述纯弯曲应力状态,该问题的精确解为：,由平面问题的几何方程和物理方程，得：,为纯弯曲的应力状态。E、为弹性常数。,26,若用双线性矩形单元模拟该应力状态：,对照精确解，有：,由几何方程，得,由物理方程,近似位移,近似剪应力,近似的 y,误差原因：,位移中缺完全的二次多项式。,27,5.5.1 Wilson 非协调元,1.基本思想,在不增加单元自由度情况下，位移插值函数中，增加一些附加项，使其构成完全多项式，以弥补原位移插函数中非完全多项式的不足。,Wilson称这些附加项为：内部无节点位移项。,以4节点四边形等参元为例，,采用自然坐标，

14、其附加项为,附加项特点,在4节点处，附加项的值为零，不影响节点位移,附加项的二次项使位移成为完全二次多项式,2.二维4节点Wilson非协调元,位移模式：,28,其中：,称为内部自由度，无明确的物理意义,将单元位移插值用矩阵表示：,其中：,29,应变、单元位能泛函、单元有限元方程：,将假设单元位移代入几何方程,得：,代入单元位能泛函,由,得：,其中：,原4节点线性单元的刚度阵,30,单元的内部自由度凝聚,由上式中的第二式可解出：,将上式的第一式，有,整理，消去l,有,令：,说明：,（1）上述方程包括了附加内节点位移项得到的单元刚度阵和载荷列阵。,（2）单元刚度矩阵的阶数与原线性单元相同。消去附

15、加自由度 14 的过程，称为内部自由度凝聚。,31,（3）若不存在体积力（f 0）,则有,进一步略去,中的第二项，则,与原线性协调单元相同,实践证明，作以上处理后，计算量大大减少，且对精度影响不太大。,32,例题：悬臂梁受载荷A和载荷B作用，如图所示。采用4节点矩形单元计算。,33,存在的问题：,单元边界上位移分布：,Wilson元 不满足协调条件，为非协调单元。,相邻单元边界的位移不能连续。,Wilson非协调元单元收敛性如何？,34,实践证明：,对于 C0 类型问题，若在单元尺寸趋于零（即单元应变趋于常应变）时，其位移的连续性能得到恢复，则非协调元的解仍能趋于精确解。,检验非协调元是否收敛

16、性的条件为：,（1）位移模式能否描述常应变？,（2）在常应变的条件下，能否自动地保证位移的连续性？,分片试验,采用任意不规则网格单元组成的单元片时能否模拟常应力状态。,能通过分片试验的非协调元，其有限元解一定收敛于精确解。,35,5.5.2 分片试验,艾恩斯（Irons）,1965,j,1.分片试验原理,考虑一任意的单元片，如图所示，其中至少有一个节点是完全被单元所包围的，如图中的节点 i，其平衡方程为：,考察：当赋于单元片各个节点以与常应变相应位移值和载荷值时，校验平衡方程是否满足，即此时节点 i 的平衡条件是否满足。,分片试验原理：,如果满足，则认为通过分片试验，即单元满足常应变的要求，此

17、时，当单元尺寸不断缩小时，有限元解能收敛于真正解。,36,2.分片试验的方法步骤,（1）赋予单元片中各节点以（与常应变状态相对应）位移和载荷值,（2）将赋予的各节点位移和载荷值代入平衡方程,（3）判别平衡方程是否满足。若满足，则通过分片试验，解能收敛于真正解。,平面问题中非协调元的分片试验,平面问题中，与常应变对应的位移为：,取各节点的位移值为：,与常应变（常应力）对应的节点载荷：,应有：,无体力,无面力,无集中力,此时，分片试验条件变为：,37,分片试验条件的意义：,（1）若平衡方程不成立，表明单元片具有与常应变相应的位移时，节点 i 不能平衡。必须在节点 i 处施加外力(如加约束力)，才能

18、保持节点 i平衡。导致非协调单元不能反映常应变的要求。,（2）若平衡方程不成立，从能量角度看，是由于单元间的不协调变形损失外力的功。,分片试验的另一提法：,当单元片的边界节点赋予和常应变相对应的位移时，求解平衡方程得到分片内部节点 i 的位移 ai。若 ai 和常应变状态一致，则通过分片检验。,38,平面4节点四边形非协调元的分片试验条件,位移模式：,其中：,附加的内部自由度,两种情形：,（1）当,时，单元一定满足收敛性条件，,（2）当单元片各点赋予与常应变相应有位移：,因而，必定通过分片试验。,时，也应有：,平面4节点四边形非协调元的分片试验条件,39,4节点四边形非协调元的方程为：,由第二

19、式可求得：,当不存在体积力（f 0）时,可取,则：,常应变状态时：,则非协调内位移为：,应有,40,显然，当J为常数矩阵时，,成立，即通过分片试验，该非协单元是满足收敛性条件的。,其中：,41,结论：,平面4节点四边形非协调元的收敛条件：,说明：,(1)满足此条件的单元为：,平行四边形单元和矩形单元,(2)对一般四边形单元不能通过分片试验，不满足收敛性条件。但可作如下近似处理：,取：,可得较好的结果。,Wilson 建议,42,（3）类似可构造8 节点六面体非协调单元：,位移模式：,其中：,通过分片试验的条件：,（1）平行六面体，,（2）对非平行六面体，取,其精度可达到20 节点六面体单元的精

20、度。,43,满足分片试验条件的另外一种公式推导,单元内位移和应变分别为：,其中uq,ul 分别是协调和非协调位移。,代入到位能泛函,要求泛函的一阶变分为0，得,44,由上式进一步可以得到单元内，交界面以及给定力边界上的平衡条件，除此之外，还有：,此条件相当于各单元边界上的力在非协调位移所做虚功之和为0.可进一步要求在常应力状态时，每个单元内应该满足：,45,也可等价的表示为：,或：,不满足上述条件的非协调应变矩阵，可修正如下：,或,对平面问题：,46,5.6 小结,1.应力解的特点及改善应力结果的方法,n+1阶Gauss积分点为等参元中的最佳应力点。,应力解的特点,改善应力结果的方法,相邻单元

21、应力平均,算术平均,面积加权平均,围绕节点各单元应力的平均,m 围绕节点 i 周围的全部单元数,47,总体应力磨平,单元应力磨平,子域局部应力磨平及外推,引入力的边界条件修正边界应力,仅对工程实际问题中感兴趣的区域，如应力集中区域、需专门校核应力的区域进行应力磨平、修正处理。,以上应力结果的处理方法是自适应分析的基础。,48,2.子结构法、对称结构和周期性载荷的利用,子结构法的基本思想与方法,对称结构的利用,周期性载荷的利用,3.非协调单元及其分片试验,非协调单元构造的基本思想,增加附加内位移项，使假设单元位移场构成完全多项式,Wilson非协调单元构造方法,平面4节点四边形非协调元；空间8节点六面体非协调元。,非协调单元收敛性的检验方法：,分片试验,分片试验的原理、方法,