线代第四章.ppt

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1、线性代数,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,一.问题,习题1(B).23,求A11.,A=PP1,A11=P11P1,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,二.相似矩阵的定义,设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得 P 1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为AB.P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.,易见,矩阵间的相似关系满足,A与B相似 A与B相抵.但反之未必.,(1)反身性:AA;,(2)对称性:AB BA;,即矩阵间的相似关系是一种等价关系.（如何判断）,(3)传递性:AB,BC AC.,性质1.设AB,f是一个多项式,则f(A)f(B).,证明:设P 1AP=B

2、,f(x)=anxn+a1x+a0,则,P 1f(A)P,=anP 1AnP+a1P 1AP+a0 P 1EP,=an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E,=P 1(anAn+a1A+a0E)P,=anBn+a1B+a0E,=f(B).,三.相似矩阵的性质,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,性质2.设AB,则|A|=|B|.,证明:P 1AP=B|P 1AP|=|B|,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,|P 1|A|P|,=,|P|1|A|P|,=,|A|,=,性质3.设AB,则r(A)=r(B).,证明:P 1AP=B r(A)=r(B).,第四章 矩阵的

3、特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,A的迹:tr(A)=a11+a22+a1n,(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);,(2)tr(kA)=ktr(A);,(3)tr(AB)=tr(BA).,性质4.设AB,则tr(A)=tr(B).,证明:P 1AP=B,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,tr(B)=tr(P 1AP),=tr(APP 1),=tr(A).,1.定义:,四.相似对角化（条件？）,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,A=,=P 1AP,1 0 0 0 2 0 0 0 n,P=(1,n)可逆,1,n线性无关,P 1AP=AP=P,(A1,An

4、)=(11,nn),2.条件:,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 相似矩阵,定理4.1.Ann 对角矩阵,1,n和线性无关的1,n,s.t.,Ai=ii,(i=1,n).,P=(1,n),=diag(1,n),在此条件下,令,则P 1AP=.,4.2 特征值与特征向量,一.定义,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,A=,n阶方阵,非零向量,特征值,特征向量,如何求取特征值和特征向量？,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,A=,(EA)=0,|EA|=0,特征方程,特征多项式,EA,特征矩阵,特征值,特征值向量,二.计算,第四章 矩阵的特征值和特

5、征向量,4.2 特征值与特征向量,定理4.2.(1)0为A的特征值|0EA|=0.,(2)为A的对应于0特征向量,(0EA)=0.,1.理论依据,2.步骤,计算|EA|,求|EA|=0的根,求(EA)x=0的基础解系,例1.求A=,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于1=2的特征向量为,对于1=2,(2EA)x=0 即,3 11 3,=(2)(4).,(0 k R).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,例1.求A=,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于2=4的特征向量为,对于2=4,

6、(4EA)x=0 即,3 11 3,=(2)(4).,(0 k R).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,解:|EA|=(2)(1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2EA)x=0 的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(EA)x=0 的基础解系:p2=(1,2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).,例2.求,的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,解:|EA|=(+1)(2)2.所以A的特征值为1=1,2=3=2.(EA)x=0

7、的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).(2EA)x=0的基础解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).,例3.求,的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,例,A=,特征值和特征向量,求,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,三.性质,性质5.设AB,则|EA|=|EB|.,性质6.设A=(aij)nn的特征值为1,n,则(1)1+n=tr(A).(2)1n=|A|.,推论.A 可逆1,n全不为零.,性质7.|EA

8、|=|EAT|.,例4.设为方阵A的特征值,证明2为A2的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A2)x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x,所以2为A2的特征值.例5.设为方阵A的特征值,证明()=22 3+4.为(A)=2A2 3A+4E的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A)x=(2A2 3A+4E)x=2(A2)x3Ax+4x=22x3x+4x=(22 3+4)x=()x,所以()为(A)的特征值.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,例6.设1,2,m为方阵A的m个不同的特征值,p1,p2,pm为依次对应

9、于这些特征值的特 征向量,证明p1,p2,pm线性无关.,证明:若k1p1+k2p2+kmpm=0,则,由此可得(k1p1,k2p2,kmpm)=O.,(k1p1,k2p2,kmpm),=O.,因而k1=k2=km=0.,这就证明了p1,p2,pm是线性无关的.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,4.3 矩阵可相似对角化的条件,定理4.3.Ann 对角矩阵 有n个线性无关的 特征向量.,定理4.4.,1,1,s,1,r,2,不同的特征值对应的特征向量线性无关,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,定理4.5.,推论.若Ann有n个不同的特

10、征值,则A可以 相似对角化.,A可以相似对角化的充要条件是Ann的每个 重特征值有 个线性无关的特征向量.,注：A是否可以相似对角化由重根决定.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,例7.,有一个2重特征值.,(1)a=?,(2)A 是否可以相似对角化?,解:,|EA|=,=(2)(2 8+18+3a).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.3 矩阵可相似对角化的条件,例8.,A=,2 0 00 0 10 1 x,B=,2 0 00 y 00 0 1,(1)x=_,y=_.,(2)P=_满足P 1AP=B.,0,1,1 0 00 1 10 1 1,第四章 矩阵的特征

11、值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,4.4 实对称矩阵的相似对角化,一.实对称矩阵的特征值和特征向量,定理4.7.实对称矩阵的特征值均为实数.,事实上,1 p1T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,定理4.8.设1,2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值,p1,p2是对应与它们的特 征向量,则p1与p2正交.,于是(12)p1Tp2=0,但是1 2,故p1Tp2=0.,从而1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,定理4.9.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正 交矩阵Q

12、,使得 Q 1AQ=diag(1,2,n),其中1,2,n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,qn)的列向量组是A 的对应于1,2,n的标准正交特 征向量.,注：不是实对称矩阵能否相似对角化？能否正交相似对角化？,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,例9.把A=,正交相似对角化.,解:|EA|=(2)(4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(2EA)x=0的基础解系1=(0,1,1)T.(4EA)x=0的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即 可得,4 0 00 3 10 1 3,第四章 矩阵的特征值和

13、特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,注:对于2=3=4,若取(4EA)x=0的基础解系 2=(1,1,1)T,3=(1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,再单位化,即得,=,1 1 1,Q=(q1,q2,q3),第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,例10.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量 与3正交;(2)求A.,证明(1):由定理4.8可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个 线性无关的特征向量1,2对应于=1.,注意到1,2,3线性

14、无关,而,1,2,3线性相关,可设=k11+k22+k33,故=k11+k22是对应于=1的特征向量.,由3,=3,1=3,2=0得k3=0,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,解(2):由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵,例10.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量 与3正交;(2)求A.,特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:,1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)T,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.4 实对称矩阵的相似对角化,由此可得A=QQT,