最佳一致和平方逼近.ppt

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1、最佳一致逼近,王坤,1 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,设函数,是区间,对于任意,，如果存在多项式,，使不等式,则称多项式,在区间,上一致逼近(或均匀逼近)于函数,定义,上的连续函数，,给定的,成立，,。,所谓最佳一致逼近问题就是对给定的区间,上的连续函数,，要求一个代数多项式,使得,其中，,代表由全体代数多项式构成的集合。,称为最佳一致逼近多项式,2 最佳一致逼近多项式,一、最佳一致逼近多项式的存在性,定理4.9,对任意的,二、相关概念,1、偏差,定义,上的偏差。,则称,为,与,在,注：,，,集合，记作,，它有下界0。,显然，,若,的全体组成一个,2、偏差点,定义,设,若在,上有,则称

2、,是,的偏差点。,若,若,则称,则称,为“正”偏差点。,为“负”偏差点。,三、,上的最佳一致逼近的特征,引理4.1,是区间,上的连续函数，,是,的n次最佳一致逼近多项式，,存在正负偏差点。,则,设,必同时,定理 4.10（Chebyshev定理）,是区间,上的连续函数，,设,则,是,的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是:,在区间,上存在一个至少有,个交错偏差点组成，,即有,个点,使得：,（i=0,1,n+1）,其中=1或=-1,推论4.1,是区间,上的连续函数，,是,的n次最佳一致逼近多项式，,在,内存在且保号，,在区间,个交错偏差点，,端点,都是偏差点。,上恰好存在一个有,设,若,则,且两,

3、四、一次最佳逼近多项式,1、推导过程,设,，且,在,内不变号，,要求,在,上的一次最佳一致逼近多项式,由推论1，,在,上恰好有3个点构成的交错,且区间端点,属于这个交错点组，,组，,设另一个交错点为,则,解得,即,即,2、几何意义,设在区间-1,1上，函数,的（n-1）次最佳,一致逼近多项式,误差函数f(x)-,五、Chebyshev多项式,(1)定义,称,为n次Chebyshev多项式.,注,It is very important,令,则,而,故 为关于 的 次代数多项式。,(2)性质,正交性：,由 Tn(x)所组成的序列 Tn(x)是在区间-1,1上带权,的正交多项式序列。,且,递推关系

4、,相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：,奇偶性：,切比雪夫多项式，当 为奇数时为奇函数；,为偶数时为偶函数。,在区间-1,1上有 个不同的零点,Tn(x)在-1,1上有n+1个不同的极值点,使Tn(x)轮流取得最大值 1 和最小值-1。,切比雪夫多项式的极值性质,Tn(x)的最高次项系数为 2n-1(n=1,2,)。,在-1x 1上，在首项系数为1的一切n次多项式中,与零的偏差最小，且其偏差为,即，对于任何，有,该性质又被称为Chebyshev多项式的最小模性质.,注：,区间 上的最小零偏差多项式,求（n+1）次多项式,由于首项系数为1的 次Chebyshev多项式,无穷范数最小，,故

5、有,于是,例4.15,在-1,1上的n次最佳一致逼近多项式。,如果f(x)的定义区间为一般区间a,b，只需做变量代换,则定义在区间a,b上的函数f(x)化为区间-1,1上的函数,近似最佳一致逼近多项式,设,且存在,阶连续导数,如何在 上确定互异的插值节点,使得 的 次插值多项式的余项最小？,由插值余项定理，次插值多项式 的余项为,其中，,其估计式为：,因此，要使余项达到最小，只需使,尽可,能小。,是一个首项系数为1的 次多项式，,故由Chebyshev多项式的性质，,只要取,即可。,而,故只需取 为 次Chebyshev多项式的零点，,即,注意到,如果插值区间为a,b,做变换式（4.63）,因

6、而插值节点取为,注：,3 最佳平方逼近,一、内积空间,1、定义,称二元函数 为内积。,设 为(实)线性空间,对 中每一对元素,在 上定义了内积是指,都有一实数，记为 与之对应，,且这个对应满足:,（2）,（1）,（3）,（4）,则称 为内积空间，,2、内积的性质,设 是一内积空间，则对任意的，有,（1）柯西许瓦兹不等式：,（2）三角不等式：,二、内积空间上的最佳平方逼近,1函数系的线性关系,定义：,若函数，在区间 上连续，,如果关系式,当且仅当 时才成立，,函数在 上是线性无关的，否则称线性相关。,则称,连续函数 在 上线性无关的 充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式,定理,其中,2、

7、离散数据的最佳平方逼近,定义4.17,设,是线性无关的。令,求,使得,取最小值,？,3.最佳平方逼近最小值的求解,此方程组称为法方程组。,方程的解,使得,取得最小值,其中,例 4.21 观测物体的直线运动，得出如下数据,0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0,0 10 30 51 80 111,解：作图可知运动曲线近似为抛物线。设拟合函数为,即取,记,将以上数据代入正规方程组中得到,解得,4.连续函数的最佳平方逼近,定义 对于给定的函数，若n次多项式,满足关系式,则称P*(x)为f(x)在区间a,b上的n次最佳平方逼近多项式。,5.连续函数最佳平方逼近的求解,此方程组称为法方程组。,方程的解,使得,取得最小值,其中,例 设，求0，1上的一次最佳平方逼近多项式,解：,由方程组，解出,