无穷小量4函数的连续性.ppt

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1、2023/8/16,1,第三讲(一)无穷小量与无穷大量(二)连续函数,二、三个重要关系,三、无穷小量的比较,四、求极限举例,五、函数的连续性,一、无穷小量与无穷大量,2023/8/16,2,定义1：在某个变化过程中,极限为零 的函数,称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）。,五、无穷小量与无穷大量,（一）定义,例如：,注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！,2023/8/16,3,定义2：在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。,2023/8/16,4,例,2023/8/16,5,（二）无穷小与无穷大的性质,性质1：,注意：

2、,性质1只可以推广到有限个函数,例,2023/8/16,6,性质2：,性质3：,2023/8/16,7,例,例,2023/8/16,8,1.（无穷小与无穷大）,2.（极限与无穷小）,（三）三个重要关系,2023/8/16,9,3.无穷大与无界函数,问题：,两个无穷小量的商是否为无穷小量？,2023/8/16,10,二、无穷小量的比较,定义：,2023/8/16,11,2023/8/16,12,几个常用的等价无穷小量,2023/8/16,13,等价无穷小量的性质,性质1：,2023/8/16,14,性质2：,等价代换,2023/8/16,15,解,例1,三、求极限举例,2023/8/16,16,

3、例2,解,2023/8/16,17,2023/8/16,18,例3,解,2023/8/16,19,讨论：,代数和不能代换！,2023/8/16,20,解,例4,2023/8/16,21,解,例5,2023/8/16,22,解,例6,2023/8/16,23,解,例7,2023/8/16,24,从而,2023/8/16,25,连 续 函 数,2023/8/16,26,函数连续性的定义,函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种描述：,当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；连续函数的图形可以一笔画成,不断开.,2023/8/1

4、6,27,例如：,2023/8/16,28,2023/8/16,29,2023/8/16,30,2023/8/16,31,定义1：,以上描述实质上是同义的反复,数学上要确切地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述.,（一）定义,2023/8/16,32,注意1,以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.,注意2,2023/8/16,33,定义2：,（函数在一点的单侧连续性）,2023/8/16,34,定义3：,（函数在区间上的连续性）,2023/8/16,35,（二）间断点的分类,根据间断点的不同情况，可以分为三类：,1.可去型间断点,可去型间断不是本质性的间断,可以重新定义,使其连续.,2

5、023/8/16,36,例如,2023/8/16,37,2.第一类间断点,例 符号函数,2023/8/16,38,3.第二类间断点,例,2023/8/16,39,五、函数连续性的基本性质,（一）连续性定义的等价形式：,2023/8/16,40,（二）连续函数的有界性：,2023/8/16,41,（三）连续函数的保号性：,2023/8/16,42,（四）连续函数的运算性质：,2023/8/16,43,（六）初等函数的连续性,初等函数在其定义区间上是连续的。,（五）关于反函数的连续性,2023/8/16,44,连续函数的性质,一、连续函数的基本性质,二、初等函数的连续性,三、闭区间上连续函数的性质,2023/8/16,45,一、函数连续性的基本性质,（一）连续性定义的等价形式：,2023/8/16,46,（二）连续函数的有界性：,2023/8/16,47,（三）连续函数的运算性质：,2023/8/16,48,二、初等函数的连续性,初等函数在其定义区间上是连续的。,（四）关于反函数的连续性,结论：,2023/8/16,49,1.有界性定理：,2.最大最小值定理：,三、闭区间上连续函数的性质,2023/8/16,50,3.零点定理：,2023/8/16,51,4.介值定理：,推论：,2023/8/16,52,f(x),g(x),