理论力学静力学第五章.ppt

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1、,5,本章将讨论与研究物体的接触面不是光滑的情况,滑动摩擦滚动摩擦,干摩擦湿摩擦,按接触物间的相对运动情况,按接触物间是否有润滑剂,本章只研究干摩擦时物体的平衡问题,5-1 滑动摩擦,两个表面粗糙的物体，当其接触面之间具有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此之间作用着障碍对方相对滑动的阻力，这力称为摩擦力。摩擦力的三要素：1、作用于两物体的相互接触处2、方向与相对滑动的趋势或相对滑动的 方向相反3、大小由主动力决定（摩擦力为被动力）根据研究物体的相对滑动趋势、平衡的临界状态和滑动这三种情况，摩擦力可分为静滑动摩擦力、最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。,1静滑动摩擦力,在粗糙平面上，放置一个物块。,物块

2、重P，法向反力为N，物块平衡。,在物块上作用一个大小可变的水平拉力F,物块仍保持平衡，这是因为还有一个接触面障碍物块向右水平运动的切向力静摩擦力。,静摩擦力作用于平面与物块的接触处、方向与物块的滑动趋势相反、大小由平衡条件确定，即X=0，F Fs=0 Fs=F静摩擦力Fs的大小随着主动力F的增大而增大。,2最大静滑动摩擦力,静摩擦力Fs 的大小随着主动力F 的增大而增大这是静摩擦力和一般约束反力的共同特性。静摩擦力Fs 又与一般约束反力不同，它并不随主动力 F 的增大而无限增大，当 F 的大小达到某一数值时，物块处于平衡的临界状态（物块将滑还未滑），这时的Fs 达到最大值最大静摩擦力，以 F

3、max 表示。如果 F 再增大，Fs 不再增大，显然,0 Fs Fmax由库仑定理 F max=f s Nf s 静摩擦系数f s需通过实验测定，影响其的因素很复杂。,常用摩擦系数表,3动滑动摩擦力,当滑动摩擦力已经达到最大值，若再增大主动力F，接触面之间将出现相对滑动。,接触面之间仍作用由阻碍物块滑动的阻力。,称为动摩擦力，以Fd 表示。实验表明 F d=f N f 为动摩擦系数一般情况下，f f s,赛车起跑,为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面摩擦生烟？,赛车结构,为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？,5-2 考虑摩擦时的物体平衡问题,对有粗糙表面物体的平衡问题的研究与前几章基本相同，

4、但需注意：（1）受力分析时，还需要考虑静摩擦力Fs（2）列出补充方程 Fsf s N（3）由于Fs 需满足 0 Fs f s N，所以，问题的解往往有一定的范围。上面的注意（1）说明分析时增加了未知量；而注意（2）又增加了与新增Fs个数相同的方程数，从而使问题有解；注意（3）又告诉我们，问题中可能有最大值和最小值问题。,物块重P=1500N，摩擦数 f s=0.2，f=0.18，水平力F=400N。问图示情形，物块是否静止，求此时摩擦力的大小。,例5-1,解：解此类问题，先假定物体为静止，并假设摩擦力方向，将求得的静摩擦力与最大静摩擦力比较来确定物体是否静止。取物块为研究对象，受力分析。,假定

5、静摩擦力如图。,X=0，P sin 30 F cos 30 Fs=0 Y=0，P cos 30 F sin 30 N=0代入数值，解得：Fs=-403.6 N，N=1499 N此时最大静摩擦力 F max=f s N=299.8 N|Fs|F max 物块不静止。又 Fs为负值，实际情况与假定方向相反，即下滑。此时，摩擦力 Fd=f N=269.8 N,物块重为 P，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦系数为 fs，当物体处于平衡时，求水平力 F1 的大小。,例5-2,解：经验表明水平力过大，物块上滑，而水平力太小，重力又可能导致物块下滑。1、考虑 物块上滑时的临界状态受力分析如图。,X=0，

6、F1max cos P sin Fmax=0（1）Y=0，F1max sin+P cos N=0（2）补充：F max=fs N（3）式(3)代入式(1)fs(2)式,即 F1max(cos fs sin)P(sin+fs cos)=0得：,例5-2（续1）,2、考虑物块下滑时的临界状态,X=0，F1min cos P sin+Fmax=0（4）Y=0，F1min sin+P cos-N=0（5）补充：Fmax=f s N（6）式(6)代入式(4)+f s(5)式,即F1min(cos+f s sin)P(sin-f s cos)=0得：,例5-2（续2）讨 论,若不计摩擦，即f s=0前面解

7、得的结果就退化为唯一答案 F1=P tan 这与直接用平衡条件求解同。特别注意：从补充方程 F max=f s N 可见，由于f s是正系数，而N方向恒确定，导致N符号永正，这意味着F max 总是正值。换言之，F max 方向确定，绝不可随意画。,凸轮机构如图，f s和b已知，凸轮与推杆接触处摩擦忽略。问 a 为多大，推杆才不至于被卡住。,例5-3,解：取推杆为研究对象，受力分析。,考虑平衡的临界状态，即推杆有向上的运动趋势，将动还未动，此时A、B两点的摩擦力都达到最大值，方向向下。,例5-3(续1),列平衡方程X=0，NA NB=0(1)Y=0，FFA FB=0(2)MD(F)=0，,F

8、a NB b+FA d/2 FB d/2=0(3)补充：F A=f s NA(4)F B=f s NB(5),由式(1)、(4)和(5)得：FA=FB=F MAX=f s NB=f s NA 代入式(2)和(3)得：F=2 F MAX(6)NA=NB=F/(2 fs)(7)F a NB b=0(8)式(7)代入(8)得：,例5-3(续2),由式(8)，F a NB b=0可见，当 b 和 F 大小确定时，a 与 NB 成正比，即 a 大 NB 大，最大摩擦力也大，推杆不动；a 小 NB 小，也就是 F MAX 减小。由式(2)，FFA FB=0 可得 F=FA+FB=常数,告诉我们 a 小 N

9、B 小，也就是 F MAX 减小。又告诉我们 FA 和 FB 之和不变，这就可能导致 最大摩擦力小于摩擦力的矛盾结果。所以当,时，推杆不会被卡住。,结果分析,已知P=100N，FB=50N，=60，AC=CB=l/2（C点为杆与轮的接触点，D为轮与地面的接触点），f C=0.4，轮的半径为 r。要维持系统平衡：(A)若f D=0.3，求此时作用轮心的水平力 F 最小值；(B)若f D=0.15，求此时作用轮心的水平力 F 的最小值。(f C、f D 为静摩擦系数),例5-4,2、当 F 足够大时，轮可能向左运动，角增大。运动同样可能有两种情况。分析 1 是本题所求解的问题,解：题目分析：1、当

10、F不够大时，轮可能向右运动，角减 小。运动可能有两种情况：C点的摩擦力首先达到最大值，即F C=F Cmax D点的摩擦力首先达到最大值，即F D=F Dmax,例5-4(续1),(A)若fD=0.3，此时作用轮心的水平力 F d 的 最小值为多少？设C点的摩擦力首先达到最大值，即FC=FCmax。在此情况下，摩擦力FC 的方向确定，而FD 的指向随意假定。分别以杆和轮为研究对象，受力分析。,例5-4(续2),以AB杆为对象，MA(F)=0，NCl/2-FB l=0(1)补充：FC=Fcmax 即FC=fC NC(2),以轮为研究对象，,由式(1)和(2)得：NC=2FB=100N；FC=fC

11、 NC=40N,f C=0.4,将它们代入式(5)得ND=184.64 N再一并代入式(4)得Fmin=26.60 N,注意到：FDmax=fDND=55.39(FD=40)Fmin=26.60 N确为最小推力,P=100NFB=50N=60,例5-4(续3),但是，FDmax=fDND=0.15184.60=27.69N（FD=40N）不合理，说明D点应该先达到临界状态。重新设D点的摩擦力首先达到最大值，即F D=F Dmax。摩擦力F D 的方向确定，而F C 的指向随意假定，得相同受力图。,(B)若 f D=0.15，此时作用轮心的水平力 F 的最小值为何值？仍设C点的摩擦力首先达到最大

12、值，即F C=FCmax,受力分析同。,例5-4(续4),问题（A）的5个方程:,MA(F)=0，NCl/2-FB l=0(1),补充：FC=fC NC(2),补充：FD=fD ND(2),联立求解得：Fmin=47.81NFC=25.86NFCmax=fC NC=40N(FC=25.86N)说明C点不滑。,补充：FC=fC NC(2),补充：FC=fC NC(2),补充：FC=fC NC(2),换去式(2)为D点达到临界时的补充方程,5-3 摩擦角与自锁现象,1、摩擦角 支承面对平衡物块的法向约束反力和切向约束反力的合力 R=N+Fs 称为支承面的全约束反力。,全约束反力的作用线与支承面的公

13、法线的夹角为,当物块处于临界状态，静摩擦力达到最大值，此时全约束反力的作用线与支承面的公法线的夹角的最大值 称为摩擦角,摩 擦 锥,摩擦角的正切等于静摩擦系数。,当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变。,在临界状态下，全约束反力 R 作用线画出的一个以接触点为顶点的锥面称为摩擦锥。,全约束反力和摩擦角,物块平衡时，静摩擦力可以在 0 到 F max范围内变化，所以全约束反力作用线和接触面法线间的夹角必满足：0 全约束反力必在摩擦角之内。,当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变。同样全约束反力必在摩擦锥之内。,2、自锁现象,攀登套钩工作时载荷作用位置示

14、意图,分析自锁现象,如果作用于物块的全部主动力合力 F 的作用线落在摩擦角之内，则无论此合力多大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象,这时因为在此情况下，主动力F和接触面法线间的夹角,必有全约束反力R与之相平衡，且=,利用自锁原理可设计一些机构，使它们始终保持平衡，如千斤顶等。,自锁现象(续),如果全部主动力的合力 F 的作用线落在摩擦角之外，则无论这个力如何小，只要它不等于零，物块就一定会滑动。,因为在此情况下，主动力 F 和接触面法线间的夹角。,而，即支承面的全约束反力必须落在摩擦角内，无法与 F 平衡。,实验测定摩擦系数,将要测定的两种材料分别做成斜面和物块。,单击图片播放动画,单击图

15、片播放动画,单击图片播放动画,实验测定摩擦系数说明,由于物块仅受重力和全约束反力的作用而平衡，所以 F和 R 等值、反向、共线。,全约束反力与法线的夹角也正是平板与水平面的夹角。,当物块处于临界状态时，=。算得摩擦系数 f s=tan=tan,斜面的自锁条件,由前面的分析可知，斜面的自锁(不下滑）条件是：,斜面的自锁条件也是螺纹自锁的条件。这是因为螺纹可以看作是绕在一个圆柱上的斜面。,螺母相当于放置在斜面上的滑块，,螺纹升角 就是斜面的倾角。,施于螺母上的轴向载荷相当于物块的重力,用几何法求例5-2：物块重为 P，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦系数为 f s，当物体处于平衡时，求水平力

16、F1 的大小。,例5-5,1、考虑 物块上滑时的临界状态，将法向反力和最大摩擦力用全约束反力 R 来代替。,这时物块在 F1max、P 和 R 三个力的作用下平衡。,根据汇交力系平衡的几何条件，画自封闭力三角形。,F1max 水平、P与法线的夹角，而 R与法线的夹角为摩擦角。,求得：F1max=P tan(+),例5-5(续),2、考虑物块下滑时的临界状态，仍将法向反力和最大摩擦力用全约束反力 R 来代替。,注意 R 的位置，即 角与 角的关系。,若，自锁。与题意不符,作自封闭力三角形。,F1min=P tan(),合并情形1和2P tan()F1 P tan(+)按三角公式展开，得,用几何法

17、求例5-3：凸轮机构如图，f s和 b 已知，凸轮与推杆接触处摩擦忽略。问 a 为多大，推杆才不至于被卡住。,例5-6,解：将A、B两点的最大静摩擦力和正反力合成为全约束反力。,显然，推杆上只受到三个力的作用。,此三力使推杆平衡，根据三力平衡汇交定理，这三个力的作用线必汇交于一点。,例5-6(续),根据前面的分析，画出平衡临界状态的力作用线。,力作用线交点C点至推杆中心线的距离即为待求的临界值 a极限,由于推杆平衡时全约束反力的作用线全落在摩擦角内,两全约束反力的作用线的交点必落在C点右侧的区域内。,所以，要使推杆不至于被卡住，需满足：,5-4 滚动摩阻的概念,在固定平面上放置一个重 P，半径

18、为 r 的圆轮，,在轮心处施加一个水平力Q，摩擦力 Fs 阻止了轮的滑动,Q 与 Fs 组成一力偶使轮转动，但实际上轮当 Q 不大时并不动。,滚动摩阻理论认为，轮在重力和水平力的共同作用下，与轮相接触的平面并非刚性，有变形。,将分布力向A点简化，得到一个力 R 和一个力偶，力偶矩为M。,力 R 分解成摩擦力 Fs 和正反力 N,正是这个矩为 M 的力偶阻碍了轮的滚动。,滚动摩阻,滚动摩阻力偶矩 M 随主动力矩的增加而增加，当平衡临界状态，其到达最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，记作Mmax。显然，0 M Mmax滚动摩阻定理：Mmax=N 滚动摩阻系数，具有长度单位，一般用mm。,滚阻系数的物理

19、意义：将平衡临界状态下的N和Mmax根据力线平移定理，简化成一个力N，,N作用线距中心线的距离,显然，=d,放置在水平面上的圆轮，半径为 r，重为P，在轮上B点受一水平力 Q 作用。已知AB=h，圆轮与水平面间的静摩擦系数 fs，滚动摩阻系数。问 Q 值多大才能维持圆轮的平衡？,例5-7,解：取轮为研究对象，受力如图,列平衡方程：X=0，Q-Fs=0Y=0，N-P=0MA(F)=0，M-Q h=0,解得：Q=Fs；N=P 及 M=Q h静摩擦力Fs 需满足 0 Fs Fmax=fs N 轮不滑动的条件是：Q fs P 又静滚动摩阻力偶 M 需满足 0 M Mmax=N 轮不滚动的条件是：,可见

20、，要使轮不滚也不滑的条件是,由于/h 小于 fs，因此是否平衡一般取决第二个条件。换言之，滚比滑省力得多。,例5-8,半径为 r，重为 P 的车轮，放置在倾斜的铁轨上。已知铁轨倾角为，车轮与铁轨的滚阻系数为。求要使车轮维持平衡，、和 r 的关系。,解：取车轮为研究对象，受力如图。,选取坐标轴如图。,列平衡方程：MA(F)=0，Pr sin-M=0Y=0，N-P cos=0,解得：M=Pr sin；N=P cos 由于静摩阻力偶矩应满足：0 M Mmax=N 因此得：Pr sin P cos 即,这就是使车轮平衡必须满足的条件，利用它可测定滚阻系数。,本 章 小 结,1、摩擦现象分为滑动摩擦和滚

21、动摩阻两类。2、滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的阻力。前者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。（1）静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小随主动力改变，应根据平衡方程确定。当物块处于平衡的临界状态（物块将滑还未滑），这时的静摩擦力Fs 达到最大值最大静摩擦力。静摩擦力必满足 0 Fs Fmax F max=f s N 其中 f s 为静摩擦系数，N 为法向约束反力。（2）动摩擦力的方向与接触面间的相对滑动的速度方向相反，其大小为 F=f N 其中 f 为静摩擦系数，N 为法向约束反力。,本章小结（2）,3、全约束反力的作用线与支承面的公法线的夹角的最大值 称为摩擦角,当主动力的合力作用线落在摩擦角内时发生自锁。4、物体滚动时会受到障碍滚动的滚动摩阻力偶的作用。滚动摩阻力偶矩 M 随主动力矩的增加而增加，变化的范围为 0 M Mmax滚动摩阻定理：Mmax=N 滚动摩阻系数，具有长度单位，一般用mm。N 接触面的法向反力。,本章结束,