控制系统的稳定性分析.ppt
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1、第4章 控制系统的稳定性分析,4.1 稳定性的基本概念,4.2 劳思-赫尔维茨判据,4.3 Nyquist稳定性判据,4.4 稳定性裕量,1940年,美国华盛顿州的塔科玛峡谷上花费640万美元,建造了一座主跨度853.4米的悬索桥。只要有风,这座大桥就会晃动。,建成4个月后,于同年11月7日碰到了一场风速为19米/秒的风。风不算大,但桥却发生了剧烈的扭曲振动,且振幅越来越大(接近9米),直到桥面倾斜到45度左右,使吊杆逐根拉断导致桥面钢梁折断而塌毁,坠落到峡谷之中。,原因:流体对物体会产生一个周期性的交变横向作用力,如果力的频率与物体的固有频率相接近,引起共振,使物体损坏。,第4章 控制系统的
2、稳定性分析,4.1 稳定性的基本概念,4.2 劳思-赫尔维茨判据,4.3 Nyquist稳定性判据,4.4 稳定性裕量,自动控制系统稳定性的定义:控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态,当扰动作用消失后,系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态,则称系统是稳定的,否则称系统是不稳定的。(线性定常系统适用),4.1 稳定性的基本概念,(a)稳定,(b)不稳定,稳定性是控制系统自身的固有特性,取决于系统本身的结构和参数,与输入无关。,4.1 稳定性的基本概念,自动控制系统稳定的充分必要条件:系统特征方程的根全部具有负实部,即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,设系统传递函数为:,假设系统特征方
3、程的根中有K个实根,2k个共轭复根,在理想脉冲函数作用下,当t0时,r(t)=0,对于稳定系统,时输出量c(t)=0。,如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0,系统稳定。,此时R(s)=1,稳定性与零点无关,与系统特征方程有关。,4.1 稳定性的基本概念,系统特征方程的根全部具有负实部。,第4章 控制系统的稳定性分析,4.1 稳定性的基本概念,4.2 劳思-赫尔维茨判据,4.3 Nyquist稳定性判据,4.4 稳定性裕量,特点:无需求解特征根,直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。,劳思(routh)判据,赫尔维茨(Hurwitz)判据,4.2 劳思-赫尔维茨稳定判据,不受系统阶数限制,
4、如不稳定还能判断有几个根在s平面的右半部分。,只适用于低阶系统。,劳思(routh)判据,赫尔维茨(Hurwitz)判据,4.2 劳思-赫尔维茨稳定判据,劳思阵列,劳思(routh)判据,如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定;如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。,控制系统稳定的充分必要条件:劳思阵列第一列元素不改变符号。,“第一列中各数”,注:通常a0 0,因此,劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,劳思(routh)判据,劳思(routh)判据,已知:特征方程如下,例1:判断系统稳定性,所以,系统不稳定,具有两个正实根
5、。,例2:求系统稳定时k的取值范围,例3:,特殊情况1:第一列出现0,特殊情况2:某一行元素均为0,劳思(routh)判据的特殊情况,各项系数均为正数,用任意小正数代之,特殊情况1:第一列出现0,S2行第一列出现0,说明系统处于临界稳定状态(不稳定),如要再求有几个正实部特征根,其解决方法:,特殊情况1:第一列出现0,特殊情况2:某一行元素均为0,劳思(routh)判据的特殊情况,全0行的上一行元素构成辅助方程,各项系数均为正数,求导后方程系数代入全零行,特殊情况2:某一行元素均为0,S3行出现全0,说明系统处于临界稳定状态(不稳定),如要再求有几个正实部特征根,其解决方法:,系统在s平面有对
6、称分布的特征根,大小相等、符号相反的实根,共轭虚根,对称于实轴的两对共轭复根,原因分析:,特殊情况2:某一行元素均为0,课堂练习,P168 4-1(1)(5)4-2(1),劳思(routh)判据,赫尔维茨(Hurwitz)判据,4.2 劳思-赫尔维茨稳定判据,系统的n阶赫乐维茨行列式,取各阶主子行列式作为1阶(n-1)阶赫尔维兹行列式,赫尔维茨行列式,控制系统稳定的充分必要条件是:当a00时,各阶赫尔维茨行列式1、2、n均大于零。,一阶系统,二阶系统,a00时,a10(全部系数同号),a00时,a10,a20(全部系数同号),a00时,a00时,赫尔维茨(Hurwitz)判据,三阶系统,a00
7、时,a10,a20,a30(全部系数数同号),a00时,a1a2 a0 a3,四阶系统,a00时,a10,a20,a30,a40(全部系数数同号),a00时,一阶系统,a10(全部系数同号),a10,a20(全部系数同号),a10,a20,a30(全部系数同号),a1a2 a0 a3,a10,a20,a30,a40(全部系数同号),归纳:a00时,二阶系统,三阶系统,四阶系统,K值的稳定范围,应用P148表中四阶系统赫尔维茨判据,例题:求K值的稳定范围,课堂练习:单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下:,判断上述系统开环增益K的稳定域,并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。,结论:增加系统
8、开环积分环节的数目对系统稳定性不利。,特征矢量幅角变化与稳定性关系,一阶系统,D(s)可视为复平面上的向量。,特征方程:D(s)=s+p 0,4.3.1 米哈伊洛夫定理,4.3 Nyquist稳定性判据,当变化时,D(j)的端点沿虚轴滑动,其相角相应发生变化。,在频域:D(j)=p+j,若特征根为负实根,系统稳定,若特征根为正实根,系统不稳定,二阶系统,特征方程:D(s)=s2+2ns+n2(s+p1)(s+p2)=0,实根情形(1),当由0变化到时:,共轭虚根情形(01),设根位于左半s平面,当由0变化到时,,j+p1的相角变化范围:-0/2,变化量:/2+0,j+p2的相角变化范围:0/2
9、,变化量:/2-0,根位于右半s平面,共轭虚根情形(01),当由0变化到时,,j+p1的相角变化量:-/2-0,j+p2的相角变化量:-/2+0,若所有特征根都在左半s平面,则当由0变化到时,若有q个特征根在右半s平面,则当由0变化到时,n 阶系统,对于n阶系统,若有p个根位于复平面的右半面,有q个根在原点上,其余n-p-q个根位于左半面,则当由0变化到时,矢量D(j)的相角变化量,米哈伊洛夫定理:,n阶系统稳定的条件:当由0变化到时,矢量D(j)的相角变化量,稳定系统,不稳定系统,临界稳定系统,Nyquist稳定判据,系统各特征多项式间的关系,开环含有积分环节,Nyquist稳定判据穿越法,
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