控制系统的时域分析.ppt
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1、第3章 控制系统时域分析,3.1时域性能指标3.2一阶系统的瞬态响应33二阶系统的阶跃响应3.4 代数稳定判据3.5 稳态误差3.6 用MATLAB解决时域分析的问题3.7设计实例:望远镜指向控制系统的设计 小 结习 题,内容提要,内容提要:控制系统的时域分析法是根据系统的数学模型,直接解出控制系统被控量的时间响应。然后根据响应的数学表达式(例如微分方程的解)及其描述的时间响应曲线来分析系统的控制品质,如稳定性、快速性、稳态精确度等。时域分析法最大的特点是直观,因而它常常被作为学习控制系统分析的入门手段。为了便于求解和研究控制系统的时间响应,输入信号一般采用典型输入信号。本章将首先介绍评价时间
2、响应的性能指标。由于实际控制系统有简单的和复杂的,反映在数学模型上,就有低阶的和高阶的。本章将分别介绍一阶系统、二阶系统和高阶系统的时域分析方法。稳定性是控制系统正常工作的基本条件,稳态精确度也是工程中的主要问题。本章将重点介绍代数稳定判据(即劳斯判据)、稳态误差分析计算(误差定义、静态误差系数)、扰动误差及减小稳态误差方法。同时将详细介绍用工具软件MATLAB解决控制系统时域分析的问题。,3.1时域性能指标,控制系统的时间响应,可以划分为瞬态和稳态两个过程。瞬态过程又称为过渡过程,是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程,反映了系统的稳定性与快速性;稳态过程是指时间t趋于无穷时系统的输出状
3、态,反映了系统的准确性。研究系统瞬态性能,通常以系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应,来评价系统性能,瞬态性能指标规定如下。,(1)最大超调量或超调量:超调量是指在瞬态过程中,输出量的最大值超过稳态的值与输人值的百分数。即,式中ymax输出量的最大值;y()输出量的稳态值。一般情况下,要求值在535之间。,(2)峰值时间tm 指在响应过程中,单位阶跃响应超过稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。(3)上升时间tr 对欠阻尼系统是指输出量第一次达到稳态值y()的时间。对于无振荡的系统指响应由稳态值的10到90所需要的时间。,(4)过渡过程时间或调节时间ts 输出量y(t)与稳态值y()之间的偏差达到允
4、讦范围(一般取2或5)并维持在此允许范围以内所需的时间。(5)瞬态过程中的振荡次数N 振荡次数是指在调节时间ts内,输出量偏离稳态值的振荡次数。上述几项指标中,上升时间tr、峰值时间tm及调节时间ts,均表征系统瞬态过程的快速性,而超调量及振荡次数表征系统瞬态过程的平稳性。稳态性能指标,将在稳态误差一节中作介绍。,图3-l-1单位阶跃响应曲线,3.2一阶系统的瞬态响应,1一阶系统的单位阶跃响应2.一阶系统的单位斜坡响应3.一阶系统的单位脉冲响应4三种响应之间的关系,由一阶微分方程式描述的系统,称为一阶系统。如R-C网络、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。一阶系统微分方程式的标准形式,(3
5、-2-1),式中 T时间常数(秒),它表示系统的惯性。一阶系统的结构图如图3-2-1所示,其闭环传递函数为:,图3-2-1一阶控制系统,下面分析一阶系统对典型输入信号的响应。分析时,假设系统的初始条件为零,1一阶系统的单位阶跃响应,单位阶跃输入信号的拉氏变换为,,则单位阶跃响应,函数的拉氏变换为,取Y(s)的拉氏反变换,则:,(t0),(3-2-2),一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始,按指数规律上升最终趋于1的曲线,如图3-2-2所示。由此可得出:,图3-2-2一阶系统单位阶跃响应,(1)由式(3-2-2)可以看出,输出由稳态分量1和瞬态分量,组成。,,响应曲线具有非振荡特征,故又称为
6、,当t趋于无穷大时,衰减为零。显然,,非周期响应.,(2)时间常数T是一阶系统的一个重要参数。当t=3T时,响应输出,达稳态值的95;t=4T时,响应输出可达稳态值的98.2,也就是说,,可,当t=3T或4T时,稳态误差为5或2。从工程实际的角度来看,误差,小于5或2,就认为过渡过程已经结束。,故过渡过程时间一般取:,=3T(误差5)或,=4T(误差2),系统时间常数T越小,调节时间,越小,响应速度越快。,(3)由给定输入和系统输出可知,单位阶跃响应的稳态误差等于零。因为单位阶跃输入期望的输出应为1,实际输出为y(t),稳态误差为希望输出减去实际输出,即,式中,稳态误差。,2.一阶系统的单位斜
7、坡响应,单位斜坡输入信号的拉氏变换为,,故单位斜坡响应,的拉氏变换为,展成部分分式:,拉氏反变换为:,响应曲线如图3-2-3所示。,图3-2-3一阶系统单位斜坡响应,(1)由式(3-2-3)可知,系统的响应函数是由两部分组成的,瞬态分量,和稳态分量t-T。瞬态,分量,衰减到零.,,当时间趋于无穷大时,,(2)时间常数T越小,衰减越快,响应速度快。过渡过程时间,同样是,=3T或4T。稳态分量(t-T)。,(3)单位斜坡响应具有稳态误差。输入信号t即是输出的期望值,那么时间常数越小,稳态误差越小。,3.一阶系统的单位脉冲响应,图3-2-一阶系统单位脉冲响应,输入信号,X(s)=1,,拉氏变换为,所
8、以,单位脉冲响应的,拉氏变换,就是系统的传递函数,即,取拉氏反变换便得单位脉冲响应函数为,响应曲线示于图3-2-4所示,由图可以看出,脉冲响应函数是单调下降的指数曲线。,2.过渡过程时间也是,。输出的初始值为,,当时间,趋于无穷大时,输出量趋于零。时间常数T愈小,调节时间愈短,说明系统的惯性愈小,对输入信号反映的快速性能愈好。在实际工程中,理想单位脉冲函数无法得到,因此常用具有一定脉冲宽度h和有限幅度的脉动函数来代替,代替条件h0.1T.,4三种响应之间的关系,比较一阶系统对单位脉冲、单位阶跃和单位斜坡输入信号的响应,就会发现它们的输入信号有如下关系:,则一定有如下的时间响应关系与之对应:系统
9、对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数;系统对输入信号积分的影响,就等于系统对该输入信号响应的积分,其积分常数由零初始条件确定。这是线性定常系统的两个重要特性,它不仅适用于一阶线性定常系统,也适用于任意阶线性定常系统。但不适用于时变系统和非线性系统。,33二阶系统的阶跃响应,二阶系统的单位阶跃响应,3.3.2 二阶系统的瞬态响应性能指标,由二阶微分方程式描述的系统,称为二阶系统。分析二阶系统的瞬态特性对于研究自动控制系统的瞬态特性具有重要意义。这是因为在实际工程中,在一定的条件下,忽略一些次要因素,常常可以把一个高阶系统降为二阶系统来处理,仍不失系统特性的基本性质。在初步设计时
10、,常常可将一个高阶系统简化为一个二阶系统作近似分析。因此详细讨论和分析二阶系统的特性,具有极为重要的意义。首先,我们推导一个具体的位置随动系统数学模型。然后抽象为一般形式进行讨论。位置随动系统原理图如图3-3-1所示。,图3-3-1位置随动系统原理图,,要求使负载的位置与输入转角,和转动惯量,该系统的任务是控制一个转动的负载,该负载具有粘性摩擦,,的位置同步。,由图3-3-1可以看出,比较环节:,功率放大环节:,电动机:电压方程,电磁力矩,动力学方程,式中 J和f分别为折算到电机轴上的总转动惯量和总粘性摩擦系数。,减速器:,i减速比。,系统结构图如图3-3-2所示。,图3-3-2 位置随动系统
11、结构图,系统开环传递函数,由于电枢电感,很小,可忽略不计。则,令,则,系统闭环传递函数为,该式为二阶系统闭环传递函数的标准形式为了使研究结果具有普遍的意义,令,称为无阻尼自然频率或无阻尼振荡频率;,称为阻尼比。,两个参数是决定二阶系统瞬态特性的非常重要的参数,,这样又可把二阶系统的传递函数写成如下标准式:,(3-3-4),(3-3-5),其结构图如图3-3-3所示。,图3-3-3 二阶系统标准结构图,二阶系统的单位阶跃响应,现以典型的单位反馈系统来分析二阶系统的单位阶跃响应。系统的响应取决于系统闭环特征方程式的根,即闭环极点。二阶系统的特征方程式为,它的两个根(极点)为,由于阻尼比值,来分析二
12、阶系统的瞬态响应,的不同,对应的响应也不一样。下面分几种情况,(1).过阻尼(,1)的情况。,(2)欠阻尼(0,1)的情况,(3)临界阻尼(,=1)的情况,(4)无阻尼(,=0)时的情况,(1).过阻尼(,1)的情况。,系统的两个特征根为,图3-3-4,1时根分布,由于阻尼比大于1,所以,实轴上如图3-3-4所示。,均位于s平面的左侧,并且均在,对单位阶跃输入,,系统输出的拉氏变换为,展成部分分式:,式中各系数按下式求出:,求Y(s)的拉氏反变换,可得,(3-3-6),由式(3-3-6)可以看出,瞬态响应曲线由稳态分量和两项瞬态分量组成。两项瞬态分量,一项的衰,减指数为,,另一项为,,当,l时
13、,后一项的衰减指数远远大,也就是说,在瞬态过程中后一分量衰减得快。,于前一项。,因此后一项瞬态分量只是在响应的前期对系统有影响,而在后期影响很小。所以近似分析过阻尼的瞬态响应时,可以将后一项忽略不计。这样二阶系统的瞬态响应就类似于一阶系统的响应。,(2)欠阻尼(0,1)的情况,特征方程的根为,由于0 1,s1与s2为一对共轭复根如图3-3-5所示。,图3-3-5 0,1时根的分布,输出量的拉氏变换为,由于,将Y(s)变换成如下形式,求其原函数,即,反变换为,由图3-3-5,可知,则,(3-3-6),式中,,称为阻尼振荡角频率或振荡角频率;,由式(3-3-6)可以看出,在(0 1)的情况下,二阶
14、系统的瞬态响应的瞬态分量为一按指数衰减的简谐振荡时间函数,阻尼比越小,最大振幅越大。以为参变量的系统瞬态响应曲线如图3-3-6所示。,图3-3-6二阶系统的单位阶跃响应,图3-3-7,=1时根的分布,(3)临界阻尼(=1)的情况,特征方程:,系统有两个负实重根:s1=s2=-,,如图3-3-7所示,系统输出的拉氏变换为,将上式分解为部分分式,式中各代定系数按下式求出:,因此,上式的拉氏反变换为,故,当,=1时,二阶系统的瞬态响应为一单调上升曲线,如图3-3-6所示。,(3-3-7),(4)无阻尼(=0)时的情况,输出量的拉氏变换为,特征方程的根为,将Y(s)展成部分分式:,因此Y(s)的拉氏反
15、变换为,图3-3-8,当=0时,系统为不衰减的振荡,其瞬态响应曲线如图3-3-6所示。,综上分析可以看出,阻尼比不同时,二阶系统的瞬态响应有很大差别,当=0时,系统等幅振荡,不能正常工作,而在 1时,系统瞬态响应为非周期过渡,响应速度又太慢。在欠阻尼0 1中,对应=0.40.8时,响应过程,不仅过渡过程时间较短,而且振荡也不严重。因此,一般选择二阶系统工作在=0.40.8的欠阻尼工作状态,3.3.2 二阶系统的瞬态响应性能指标,(1)上升时间,(2)峰值时间,(3)超调量,(4)调节时间t,(5)振荡次数,(1)上升时间,在瞬态过程中第一次到达稳态值的时问称为上升时间。依据这个定义,令,则由式
16、(3-3-6)可得,由于,在,期间,也就是在没有达至稳态之前,,,所以,,由此可得,,当,时,,为负值,因此,上升时间应满足,故,(3-3-9),由式(3-3-9)可以看,和,。对上升时间的影响。当,一定时,阻尼比越大,,则上升时间越长;当,一定时,,越大。则上升时间越短。,(2)峰值时间,依据峰值时间,的定义,将式(3-3-6)对时间求导,并令其等于零,即,得,由于,可得,所以,故到达第一个峰值应满足,,则,(3-3-10),由式(3-3-10)可以看出,当,一定时,,与,。成反比,即是说,越大、峰值时间越小。当,一定时,,随,减小而减小。,(3)超调量,最大超调量发生在t=,的时刻。依据超
17、调量的定义:,对于单位阶跃响应,其稳态分量Y()=1,代人上式可得,因为,所以,(3-3-11),从式(3-3-11)可知,超调量只是阻尼比,的函数。而与无阻尼自然频率,无关。因此,当给定标准二阶系统阻尼比,时,就可求得相应的,超调量,,反之亦然。一般选取,=0.40.8时,,相应的,超调量,=252.5。当,=0.707时,称为二阶工程最佳参数,,相应超调量为4.3。,(4)调节时间t,依据调节时间定义:当tt,时,有,允许误差y(t),一般取0.05或0.02,可得,为了简单起见,采用近似计算,忽略正弦函数的影响,认为指数项衰减到O.05或0.02时过渡过程即进行完毕。故上式可写成,由此可
18、得调节时间t,为,(3-3-12a),(3-3-12b),如果考虑正弦项时,,与,之间的函数关系复杂,只能用计算机计算求取,=f(,)关系。实际工程中,一般都采用近似计算方法进行估算.由上述分析可知,调节时间,近似与,成反比。在设计工程系统时,,通常由要求的超调量,来确定,所以,主要根据,来确定。也就是说在不改变系统超调量的情况下,可以通过改变系统的,,来改变调节时间,。,(5)振荡次数,振荡次数是指在0t,时间区间内,y(t)波动的次数,根据这一定义可得振荡次数为,式中,系统阻尼震荡周期,例3-3-1 设单位反馈系统的开环传递函数为,试求系统的性能指标峰值时间,超调量和调节时间。,解:根据题
19、目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式 相比较可得 即=1,=0.5。由此可知,系统为欠阻尼状态。故,单位阶跃响应的性能指标为,例3-3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为,若T=0.1秒,试求开环放大系数K=10/s和K=20/s时:(1)阻尼比 及无阻尼自然振荡角频率。(2)单位阶跃响应的超调量 和调节时间。,解:题意分析这是一道典型二阶系统求性能指标的练习题,通过该练习题数值计算,加深理解开环放大系数K值的改变,对系统参数,及性能指标的影响。,(1)系统闭环传递函数为,与二阶系统传递函数标准形式 相比较,可得 或 当K=10/s时,=10(弧度秒),=0.5K=20/s时
20、,=14.14(弧度秒),=0.354(2)当 K=10/s时,=16.3%,=0.362(秒),(秒)K=20/s时,=30.4%,=0.237(秒),(秒)由此可见,开环放大系数增大,使减小,增大,超调量增大,峰值时间减小,调节时间基本不变。,3.4 代数稳定判据,线性系统稳定的充分必要条件是:系统特征方程式所有的根(或极点)全部为具有负实部,也就是所有的根均分布在平面虚轴的左面。劳斯判据,首先将系统的特征方程式写成标准形式,并检查各项符号是否相同和缺相。若符号不同,或者缺相系统不稳定。如果符号相同又不缺相,这是系统稳定的必要条件,但系统是否稳定,需要列劳斯表判断。,2.劳斯稳定判据,特征
21、方程式写成如下标准式:,把特征方程式的系数排列成如下形式的劳斯表:,第一行与第二行的系数向右展开,分别别到为止。第三行以后的各系数,分别根据前两行系数求得,这些行称为导出行或计算行。,系数,的计算,一直进行到其余的,值全部等于零为止。,依此类推一直计算到,为止。在计算过程中,为了简化数值运算,可以用正整数去除或乘某一行的各项,并不改变稳定性的结论。列出劳斯表后,就可以分成以下三种情况阐述劳斯稳定判据:(1)第一行所有系数均不为零时,劳斯稳定判据如下,如果劳斯表中第一行各系数均为正数,则系统稳定。如果第一列有负数,则第一列数符号改变的次数等于特征根中具有正实部根的个数。系统不稳定。,(2)某一行
22、的系数为零,其余不为零,或部分为零。当出现这种情况时,可用一无穷小量,代替该零相,然后按照通常方法计算劳斯表中其余各项。如果零,上面的 系数符号与零,下面的系数符号相反,表明有两次符号改变。,(3)某行所有项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行(k行)所有系数均为零,这往往表明系统是不稳定 的。因为造成这一情况的原因是由于特征根对称于s平面的原点,如。为了写出下面各行,可按下述步骤处理:利用(k-1)行的各项为系数构成辅助方程式,式中s各项均为偶次。将辅助方程式对s求导,用求导得到的各项系数来代替原来(k行)为零的各项,然后继续计算。特征方程式对称原点的根,可由方程式等于零求得。,例3-4-1
23、 设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性。,解:特征方程符号相同,又不缺相,故满足稳定的必要条件。劳斯判别。,由于第一列各系数均为正数,故系统稳定。也可以将特征方程式因式分解为,根,均有负实部,系统稳定。,例3-4-2 设系统特征方程式为试判别系统的稳定性。,列劳斯表,第一列符号改变两次,因此该系统有两个正实部根系统不稳定。,当出现这种情况时,可用一无穷小量,代替该零相,然后按照通常方法计算劳斯表中其余各项。如果零,上面的系 数符号与零,下面的系数符号相反,表明有两次符号改变。,例如,特征方程式:,劳斯表,第一列各项系数,当,趋近于零时,,的值是一个很大的负值,因此可认为第一列中各项系数值符号
24、改变了两次,该系统具有两个正实部根,系统不稳定。,如果零上面的符号和下面的符号相同,则说明存在一对虚根。,例如:,列劳斯表,将特征方程式因式分解为,根为,所以:系统等幅振荡,所以系统也不是渐近稳定。,例3-4-3 系统特征方程式为判断其稳定性,列劳斯表,由表的第一列可以看出,各项符号没有改变,说明在,右半部没由极点,但是由于,的各项都为零,这表明有共轭虚根,所以系统是等幅振荡的,虚根的值可由辅助方程求得:,或,解得,3.用劳斯判据确定系统参数的临界值,代数稳定判据除了可以用来判定系统是否稳定之外,还可以用来分析系数变化对系统稳定性的影响,从而给出使系统稳定的参数范围。,例3-4-4 单位反馈系
25、统的开环传递函数为,试求,的稳定范围。,解:系统的闭环特征方程:,列劳斯表,系统稳定的充分必要条件,得,所以保证系统稳定,,的取值范围为,。,3.5 稳态误差,3.5.1 稳态误差及误差系数,控制系统的典型结构如图3-5-1所示系统的稳态误差有两种定义方法。3-5-1 典型结构图输入端定义:,这个误差是可测量的,但是这个误差并不一定反映实际值与期望值的偏差。输出端定义:,系统输出量的实际值与期望值的偏差,用,表示。,对于非单位反馈系统两种方法定义的误差关系为,,证明如下:,由图3-5-1可知,等效结构图如图3-5-2所示,其中,表示等效单位反馈系统的输入信号,也就是输出的期望值,因而,是从输出
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