截面图形几何性质.ppt

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1、第五章平面图形的几何性质,5.1 静矩和形心5.2 惯性矩 惯性半径 惯性积5.3 平行移轴公式5.4 转轴公式及主惯性轴,(Static Moment&Centroid of Area),5.1 静矩和形心,形心,图5.1,图5.1所示等厚度均质薄板，厚度为t,单位体积的重为g，面积为A，则薄板重心的坐标yc和zc分别为,对均质薄板，其形心公式为,考虑形心公式，则上式可写为,5.1.2 静矩,或,定理：平面图形的对某一轴之矩若为零，则该轴为图形的对称轴；反之，亦然。,其中Syi是第i个简单图形对y轴的静矩，Ai是相应图形的面积，zci是图形形心的z向坐标。,组合图形的静矩和形心,组合图形对某

2、个轴的静矩等于其各部分图形对该轴静矩的代数和，即若图形可以分解为n个规则图形的和，则,而组合图形的形心公式则为,解：取微面积dA=b(z)dz，则,例题 试确定图示图形的静矩和形心C的位置。,图形对y轴的静矩为,形心坐标yc为,求右图示组合图形的静矩。,解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形，要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。,对图形I和图形II,有,5.2 惯性矩 惯性半径 惯性积,Inertial moment,inertial radius&Product of inertia,分别称Iy、Iz为图形对y轴和z轴的惯性矩。惯性矩的量纲

3、是长度4，惯性矩是恒正的量。,定义,惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4,mm4。,惯性矩的大小不仅与图形面积有关，而且与图形面积相对于坐标轴的分布有关。面积离坐标轴越远，惯性矩越大；反之，面积离坐标轴越近，惯性矩越小。,iy和iz分别称为图形对于y 轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。,定义,5.2.2 惯性半径(inertial radius),或,5.2.3 极惯性矩(polar moment of inertia),为图形对坐标原点o的极惯性矩。极惯性矩恒为正值，它的量纲为长度4，常用单位为m4和

4、mm4。,定义,由于,则,此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。,为图形对y、z轴的惯性积。,定义,5.2.4 惯性积(product of inertia),惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是长度4，常用单位为m4和mm4。,定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴的惯性积必然为零。,1.均质矩形板,质量为m，长度为l的均质杆，建立图示坐标系，则有,5.2.5 常见图形的惯性矩、惯性积,很容易得到下列结果,圆形,半径为R的圆形，选取图示圆环形积分微元，,由于y轴为对称轴，故,圆环形对y(或z)轴的惯性矩为,圆环形,5.2.6 组合图形的惯性矩、惯性积,Iyi为第i个图形

5、对y轴的惯性矩，余类推。,组合图形对某个坐标轴的惯性矩等于各简单图形对于同一坐标轴的惯性矩之和；组合图形对某对垂直坐标轴的惯性积，等于各简单图形对该对坐标轴惯性积之和，即,例题 求图示图形对y轴的惯性矩。,解：将该组合图形视为由三个矩形、的组合。,则每个矩形对y轴的惯性矩为,从而整个图形对y轴的惯性矩为,5.3 平行移轴公式(parallel axis theorem),对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于形心C的坐标系Cyczc，由定义,及坐标变换公式,将图形对y轴的惯性矩用关于形心坐标系的坐标来表达,由于yc是过形心的轴，所以,同理可得,小结移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心；

6、在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。,解：将图形看作是两个矩形的结合。形心坐标为,例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和惯性积。,求图形对y、z轴的惯性矩,由于z轴是对称轴，故图形对两轴的惯性积为,5.4 转轴公式及主惯性轴,transformation equation and principal centroidal axis,图形对某一对坐标轴y和z取得极值时，图形对该坐标轴的惯性积为零。y和z轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有坐标轴的惯性矩的极值。,若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为

7、形心主惯性矩。,基本概念,5.4.1 转轴公式,平面任意图形及新旧坐标系统,图示平面图形对任意一对新坐标轴y轴z轴的惯性矩和惯性积为：,若将坐标轴绕坐标原点旋转a角(规定a角逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)。得到一对新坐标轴y1轴和z1轴。图形对y1轴z1轴的惯性矩和惯性积为：,从图中任意一点取微面积dA，它在新旧坐标(y1,z1)和(y,z)有如下关系,将此关系代入Iy1、Iz1和Iy1z1中，得,将,代入上式得,同理,(a),5.4.2 主惯性轴和主惯性矩(principal moment of inertia),将式(a)对a求导数，以确定惯性矩的极值,令a=a0时,得,由上式可以解得相

8、差90的两个角度a0和a0+90，从而确定了一对相互垂直的坐标轴y0轴z0轴。图形对这对轴的惯性矩一个取得最大值Imax，另一个取得最小值Imin，将a0和a0+90分别代入式(a)第一式，经化简得惯性矩极值的计算公式：,将a0和a0+90代入式(a)第三式，得惯性积Iy0z00。因此图形对某一对坐标轴y0和z0取得极值时，图形对该坐标轴的惯性积为零。y0和z0轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有坐标轴的惯性矩的极值。,5.4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩,若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal

9、 axis)。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形的对称轴就是形心主惯性轴。,形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点：形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互相垂直的坐标轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩即形心主惯性矩是图形对通过形心的所有坐标轴的惯性矩的极值。图形对形心主惯性轴的惯性积为零。对称轴一定是图形的形心主惯性轴。,例 试求图示图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩。,与c重合。,与c重合。,由于图形有对称中心c，故点c即为图形的形心。以形心c作为坐标原点，平行于图形棱边的y、z轴作为参考坐标系，把图形看作是三个矩形、和的组合图形。,解：确定形心位置,矩形的形心c1与c重合。矩形的形心c2的坐标为(-35,55)。矩形的形心坐标为(35,-55)。,与c重合。,计算图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积：,确定形心主惯性轴的位置,解得,由于a0为正值，故将y轴绕点逆时针旋转27.5度，即得到形心主惯性轴y0和z0的位置。,求形心主惯性矩,THE END,