微分中值定理与导数的应用.ppt
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1、微分中值定理与导数的应用,第四章,第一节 微分中值定理,一、罗尔定理,定理1(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)满足:(1)在a,b上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使得f()=0,在曲线上至少存在一点C,在该点曲线具有水平切线,证 因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m,(1)如果M=m,则f(x)在a,b上恒等于常数M,因此,对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.,(2)若Mm,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的
2、某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0,(a,b),f()存在,因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的,只要+x(a,b),总有 f(+x)-f()0,当x0时,根据极限的保号性及f()的存在知,当x0时,从而必须有f()=0.,例 验证罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间-1,3上的正确性,注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.,显然函数f(x)=-2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件,解,由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1(-1,3),使f(1)=0,二、拉格朗日中值定理,定理2 若函数y=f(
3、x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导则至少存在一点(a,b),使得,证 作辅助函数,F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,F(x)满足罗尔定理的条件,故至少存在一点(a,b),使得F()=0,即,因此得,拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(ab),是(a,b)中的一个点,=a+(b-a)(0 1),拉格朗日中值公式还可写成f(b)-f(a)=(b-a)fa+(b-a)(01),a与b分别换成x与x+x,b-a=x,拉格朗日中值公式写成f(x+x)-f(x)=f(x+x)x(0).称为有限
4、增量公式,例,证,推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数,几何意义是斜率处处为零的曲线一定是一条平行于x轴的直线,证 在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1 x2,显然f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理的条件,因为 f(x)0,所以 f()=0.,从而 f(x2)=f(x1).,例,证,推论2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).,证 因f(x)-g(x)=f(x)-g(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x
5、)=g(x)+C,x(a,b),三、柯西中值定理,定理3(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得,证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)g(b).,作辅助函数,F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得,从而有,例,证,第二节 洛必达法则,一、型未定式,定理1 设f(x),g(x)满足下列条件:(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)f(x),g(x)在 内可导,且g(x)
6、0;(3)存在(或为)则,证 由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.,由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续,设x,则f(x)与g(x)在x0,x或x,x0 上满足柯西定理的条件,当xx0时,显然有x0,由条件(3)得,注意:(1)如果 仍为 型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件,则可继续使用洛必达法则;(2)洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达法则时,要验证定理的条件,当 既不存在也不为时,不能运用洛必达法则,例,解,例,解,推论1 设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)
7、0;(3)存在(或为)则,证 令x=1/t,则x时,t0,例,解,二、型未定式,定理2 设f(x),g(x)满足下列条件:(1)f(x)=,g(x)=;(2)f(x)和g(x)在 内可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则,推论2 设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则,例,解,解,例,三、其它未定式,若对某极限过程有f(x)0且g(x),则称limf(x)g(x)为0型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)-g(x)为-型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x),则称li
8、mf(x)g(x)为00型未定式若对某极限过程有f(x)1且g(x),则称limf(x)g(x)为1型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x)0,则称limf(x)g(x)为0型未定式,例,解,例,解,例,解,第三节 泰勒公式,一、泰勒公式,将一个复杂函数f(x)用一个多项式Pn(x)a0a1x+a1xn来近似表示,当x很小时,有ex1+x,sinxx,两点不足:(1)精度不高,误差仅为x的高阶无穷小o(x);(2)没有准确好用的误差估计式,设f(x)在U(x0)内有直到n+1阶导数,(1)试求一个关于x-的n次多项式 使得在x0附近,有f(x)pn(x),换言之,要求 即f(x)和pn(x)
9、在x=x0处的函数值及k阶(kn)导数值相等.,(2)给出误差f(x)-pn(x)的表达式,将x=x0代入pn(x)的表达式,得到,对pn(x)求导,再将x=x0代入,得到,对pn(x)求导,再将x=x0代入,得到,定理(泰勒中值定理)设函数f(x)在(a,b)内具有直到n+1阶导数,x0(a,b),则对于任意x(a,b),有 其中(介于与x之间),证 令G(x)=(x=x0)n+1,函数f(x)在x=x0点的n阶泰勒展开式.,在(a,b)内具有直到n+1阶的导数,且易求出,对Rn(x)与G(x)在相应区间上使用柯西定理n+1次,有,拉格朗日型余项,拉格朗日中值定理可看作是零阶(n=1)拉格朗
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