循环群和置换群-置换群.ppt

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1、11.3 循环群和置换群置换群,研究内容：一个集合之上的函数,用代数结构来研究,用半群来研究：半群表示定理,用群来研究：置换群,函数（第六章）：函数定义、性质特殊函数类（6.2 P130）：单射，满射，双射；置换：定义；表示；置换的合成表示函数的逆（6.3 P135）：逆函数，左逆函数，右逆函数,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,一元运算的定义：n元运算为Sn到S的函数；所以一元运算为SS的函数。（P208定义10.1）（提法：集合S之上的函数；集合S之上的一元运算；代数系统中的一元运算；集合S之上的所有函数；集合S之上的所有一元运算）,11.3 循环群和置换群置换群

2、用代数结构研究集合之上的函数,置换（P131）：定义；表示；合成表示定义：有限集合X之上的双射p:XX称为置换。当|X|=n时，p称为n次置换。表示：特殊的形式。设X=1,2,3,4，,1 2 3 4 2 4 1 3,1 2 3 4 3 4 2 1,p1=,p2=,p1(1)=2,p1(2)=4,p2(1)=3,p2(2)=4,结论：置换是一种集合S之上的一元运算/函数。,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,置换（P131）：定义；表示；合成表示合成表示：次序上与一般的函数合成相反，与关系合成相同。例如：p1p2,1 2 3 4 2 4 1 3,1 2 3 4 3 4

3、2 1,p1=,p2=,1 2 3 4 2 4 1 3,p1 p2=,1 2 3 4 3 4 2 1,1 2 3 4 4 1 3 2,=,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,用代数结构为手段来研究一个集合之上的所有函数：代数结构实例（P211例10.5）：任何集合A，A上所有函数构成的集合写为AA，该集合之上有2元运算：函数的合成运算 AA=f|f:AA，f1、f2 AA，f1 f2定义为：xA，f1 f2(x)=f1(f2(x)函数的合成运算性质（第六章）：A上的任意2个函数的合成是A上的一个函数。,是代数系统,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函

4、数,用代数结构为手段来研究一个集合之上的所有函数：代数结构实例（P211例10.5）：任何集合A，研究代数系统运算律：满足结合律合成运算 满足结合律（集合论中函数部分的结论）即f,g,hAA,f(gh)=(fg)h,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,用代数结构为手段来研究一个集合之上的所有函数：代数结构实例（P211例10.5）：任何集合A，研究代数系统运算律：满足结合律的特殊元：有幺元，是恒等函数EA EA:AA EA(x)=x 因为：fAA，fEA=EAf=f,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,用代数结构为手段来研究一个集合之上的所有函数

5、：代数结构实例（P211例10.5）：任何集合A，研究代数系统运算律：满足结合律的特殊元：有幺元，是恒等函数EA 中元素逆元：,中元素逆元：1、双射函数存在唯一逆元：任何AA的双射函数fAA存在逆元，就是f的逆函数f-1，有f-1f=ff-1=EA。2、单射函数存在左逆元（不一定唯一）：任何AA的单射函数fAA存在左逆元，就是f的左逆函数g，有gf=EA。3、满射函数存在右逆元（不一定唯一）：任何AA的满函数fAA存在右逆元，就是f的右逆函数g，有fg=EA。,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,用代数结构为手段来研究一个集合之上的所有函数：代数结构实例（P211例10

6、.5）：任何集合A，研究代数系统运算律：满足结合律的特殊元：有幺元，是恒等函数EA 中元素逆元：有的可逆，有的不可逆,问题：是哪种代数系统？含幺半群,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,用代数结构为手段来研究一个集合之上的所有函数：代数结构实例（P211例10.5）：任何集合A，研究代数系统运算律：满足结合律的特殊元：有幺元，是恒等函数EA 中元素逆元：有的可逆，有的不可逆,问题：里面有群吗？取 AA 中所有双射函数(bejection)为集合B，是群。,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,练习：P213练习10.1中的10A=a,b,AA=f1

7、,f2,f3,f4，双射是？写出代数系统。,双射为：f2,f3,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,练习：P213练习10.1中的10 A=a,b,AA=f1,f2,f3,f4，代数系统是一含幺半群。,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,练习：P213练习10.1中的10取出AA所有双射组成是一群。,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,练习：P213练习10.1中的10取出AA所有双射组成是一群。,11.3 循环群和置换群置换群用代数结构研究集合之上的函数,用代数结构同构研究函数实例（P215例10.9）：代数系统，是N4

8、上部分双射构成的代数系统，2者同构。该例子实际上是群表示定理的一个实例：是一个群（有限群），同构于N4之上的双射构成的一个群（置换群）。思考：代数系统是一（含幺）半群，可能与什么样的代数系统同构或存在同态？该代数系统的载体应与集合A有关，可能是什么？该代数系统应该有几种运算？满足什么运算律？,11.3 循环群和置换群置换群用半群研究集合之上的函数,半群表示定理（P225 定理11.3）半群到存在同态，同态映射h:SSS，aS,h(a)=fa(fa:SS fa(x)=a*x),11.3 循环群和置换群置换群用半群研究集合之上的函数,引申：群 到（含幺）半群也有同态h，因为群也是半群；群是每个元素

9、都可逆的，可以把中所有可逆的元素（双射）取出构成一个子群，那么，群 到群能否同构？代数系统同构中用具体的例子给出了这种思路。完整的结论，在置换群部分给出。,11.3 循环群和置换群置换群用群研究有限集之上的置换,定义：置换：有限集合之上的双射幺置换：恒等函数置换的例子：A=1,2，A上有2个置换；A=1,2,3，A上有6个置换。问题：如果|A|=n，A上有几个置换？n!,11.3 循环群和置换群置换群用群研究有限集之上的置换,定义：置换群有限集A，|A|=n，A上的所有置换构成的集合记为S，则是一个群，称为n次对称群。其任意子群都称为n次置换群。,含幺半群,对称群,置换群,S AA,S为AA中

10、的所有置换,HS,是子群,11.3 循环群和置换群置换群用群研究有限集之上的置换,对称群、置换群例子：A=1,2,3，S=p1,p2,p6，是？3/6次对称/置换群？3次对称群A=1,2,3,4，S=p|p是A上的置换，是4次对称群，有8个置换构成的子群，称为4次8阶置换群。,11.3 循环群和置换群置换群用群研究任意集合之上的变换,定义：变换：任意集合之上的双射定义：变换群任意集合A，A上的所有变换构成的集合记为S，则是一个群，称为变换群。其任意子群也都称为变换群。,有限集A,置换,对称群,置换群,A上双射,所有置换+合成运算,子群,部分置换+合成运算,任意集合A,变换,变换群,变换群,A上双射,所有变换+合成运算,子群,11.3 循环群和置换群置换群用群研究任意集合之上的变换,群表示定理：群到某个变换群存在同构。（有限群到某个置换群存在同构）变换群：fa|fa:GG,fa(x)=a*x=F同构映射h:GF，aG,h(a)=fa(fa:SS fa(x)=a*x),