小波变换的实现技术.ppt

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1、小波变换的实现技术,Mallat算法 多孔算法 小波变换的提升实现,Mallat算法,卷积法实现小波变换在实际中具有广泛的应用。,实际应用中的边界处理问题：边界延拓方法 零延拓 周期延拓 周期对称延拓法 光滑常数延拓法,Mallat算法的Matlab实现,dwt()cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D,mode,MODE),X,的长度为,滤波器的长度为,对于周期延拓方式，cA，cD的长度均为,对于其他延拓方式，cA，cD的长度均为,idwt()X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R，mode,

2、MODE),对于周期延拓方法，,对于其他延拓方式，,特点:,能够实现重构.难以用于数据压缩应用,具有延拓功能的二带分析/综合系统,问题:在什么情况下,能够确保完全重构?,用小波处理函数/信号的基本步骤,和,已知,是正交尺度函数与小波,则用小波处理函数,的基本过程包括:,初始化,设信号,在最高初始分辨率级,下的光滑逼近为,记,，则有,。其中，,小波分解,用小波处理函数/信号的基本步骤,小波系数处理,小波重构,用小波处理离散信号的基本步骤,其采样间距为,，,使得,做小波分解、对小波系数处理以及对处理后的系数进行小波重构等,对,说明:,1)对,做小波分解,如何?,2)若,的采样间距为1,如何?,Ma

3、llat算法应用举例,将该信号离散化为,个采样值，相应的逼近信号记为,。,的图形。,用Haar小波进行分解，,画出,若记,而,的三级多分辨逼近信号为,则容易,算出,。,Mallat算法应用举例,对同一个离散信号应用不同的小波变换以及FFT变换进行压缩的处理效果与分析。,已知上例中的离散信号,问题：1）用Haar尺度函数和小波分解信号；2）用D4尺度函数和小波分解信号；3）用FFT变换分解信号。,令绝对值最小的80%和90%系数为0 对信号进行小波压缩，画出相应的重构信号的图形，并求出相应的相对误差。对各种变换的效果进行对比分析。,Mallat算法应用举例,Haar小波,均方差：0.7991 2

4、.9559 相对误差：0.0050 0.0185 取0比例：80%90%,D4小波,均方差：0.0277 0.2159 相对误差：0.00017 0.0014取0比例：80%90%,FFT变换,均方差：0.0012 0.0025 相对误差：7.3410-6 1.5910-5 取0比例：80%90%,多孔算法,应用Mallat算法分析信号时存在的不足,多孔算法,二通道Mallat算法 z变换的滤波器形式,多孔算法,二通道Mallat算法z变换的滤波器形式,z变换的等效易位性质,多孔算法,说明:为什么称为多孔算法（atrous algorithm）?与二通道Mallat算法之间的关系其它叫法:非抽

5、取小波变换(Undecimated Wavelet Transform),平稳小波变换(Stationary Wavelet Transform),记,则分解算法为：,多孔算法的实现,While,End of While,While,End of While,分解算法,重构算法,注:,为,的相邻两项之间插入,个零后得到的滤波器。,在Matlab小波工具箱中对应的函数:swt(),iswt(),小波变换的提升实现,概述 1)能够用于构造第一代小波，用户可根据需要来设计小波基。2)能够改进第一代小波变换算法。3)可用于构造第二代小波。,小波分解与重构的多相位表示,滤波器的多相位表示,滤波器,的多相

6、位表示为：,小波分解与重构的多相位表示,滤波器的多相位矩阵,滤波器,的多相位矩阵为：,和,滤波器,的对偶多相位矩阵为：,和,则小波滤波器的完全重构条件等价于：,小波分解与重构的多相位表示,Laurent多项式的Euclidean算法,=,的次数,两个Laurent多项式的带余除法可表述为：,或,两个Laurent多项式的欧几里德算法如下：,从,开始进行如下的递归运算：,则,，且,是一个Laurent多项式，其中,为使,的最小数。,Laurent多项式的Euclidean算法,如果an(z)是一个单项式，则a(z)和b(z)是互素的。,注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处.,多相位矩阵的

7、因子分解,若,，则总存在Laurent多项式,和,以及非零常数,，使得,其中,。,有限滤波器多相位矩阵的提升分解算法,第1步，使用欧几里德算法得到：,第2步，计算,=,第3步，计算,基于提升的正向小波变换流程图,时小波变换的提升实现算法,若,分别是序列,的z变换，且,正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由奇序列预测偶序列开始）,Step 1.懒小波变换,Step 2.提升与对偶提升,For i=1 to m,Step 3.比例变换,For,时逆向小波变换的提升实现算法,Step 1.比例变换,Step 2.提升与对偶提升,For i=m to 1,Step 3.逆懒小波变换,For,时提升算法

8、的实现,时正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由偶序列预测奇序列开始）,Step 1.懒小波变换,Step 2.提升与对偶提升,For i=1 to n,Step 3.比例变换,For,两点说明,1.本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法,如果在实际计算时已知,的因子分解，设,则,2.尚未完全解决的问题 多相位矩阵分解存在极大的不唯一性，到底存在多少种分解方法？如何求出所有的分解？如何根据具体的应用，选择一种好的分解方法?,（5-3）小波变换的提升实现,，,，,，,正变换,逆变换,整数小波变换,提升算法的一大优点是，它存在整数提升算法，即在忽略归一化因子的情况下，将算子,提升

9、步骤中的算子,作用于每个,和,换的整数提升算法。,，即可得到小波变,如（5-3）小波变换的整数版本如下：,特点：非线性变换,D4小波变换的提升实现,其中,D4小波变换的提升实现,第一种实现方法,第二种实现方法,，,（9-7）小波变换的提升实现,其中，,，,，,，,，,，,，,说明:JPEG2000中C语言实现模块中尺度变换是：,；,=1.62578613134411,Lena图像实验:,1.842,2.938,（9-7）小波变换的提升实现,小波变换提升算法的实现技巧,任意长度信号小波变换的提升实现,（9-7）小波变换的提升实现如下：,：,：,小波变换提升算法的实现技巧,利用少量辅助内存实现多尺

10、度小波变换,必要性:,算法过程由以下三步组成：,第1步，,申请一个大小为,的数组buffer存放高频系数,，然后，在原空间中调整信号的低频系数的位置，,使,变为,第2步，,调整,中的高频系数的位置使,变为,第3步，,将buffer中暂存的高频系数,调整到,占用的位置，使,变为,边界处理,对于（5-3）和（9-7）这些具有线性相位的滤波器，采用对称周期延拓则不仅可实现小波变换的完全重构，同时又不增加变换后的数据量。因此，在实现时我们可采用对称周期延拓的方法。,双正交小波变换的对称提升实现,多相位矩阵的对称因子分解 对称提升实现,多相位矩阵的对称因子分解,一个Laurent多项式,称为对称的，如果

11、,=,。记,（,为非负整数），则对称Laurent多项式都可表示为,的形式。,若,，则存在惟一的Laurent多项式,和,以及非零常数,，使得,其中,。,其中,和,是对称Laurent多项式.,计算对称提升因子的快速算法,基本思想:根据,和,理，有效地避免了传统提升因子算法中求解,的复杂计算，因而,的不同大小关系，分以下两种情况处,更加实用。,（1）当,时,记,=,，,=,=,。,令,=,，,=,，对,和,应用多项式的,欧几里德算法，,求出唯一的一组多项式,和一个非零常数,，使得,其中，,为偶数。,计算对称提升因子的快速算法,由,=,，,，求出,（,）。于是，,=,和,（2）当,时，则,。,小波变换的对称提升实现,Step 1.懒小波变换,Step 2.提升与对偶提升,For i=1 to m,Step 3.比例变换,For,