实对称矩阵的特征值和特征向量.ppt
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1、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数,,定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、实对称矩阵特征值的性质,证明:设,是 阶实对称矩阵,,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值,,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则,,于是,,(4.11),由于,,对最后一式取复数转置,,得到,两边再右乘,,得到,所以有,特征值都是实数。,这样,是实数。,由 的任意性,,实对称矩阵 的,特征向量都是实数向量。,附注:,进一步地有,,实对称矩阵,的属于特征值的,一、实对称矩阵特征值的性质,定理4.12 实对称矩阵的特
2、征值都是实数。,对上面第一式两边左乘,,的特征向量。,定理4.13,实对称矩阵,的属于不同,特征向量相互正交。,证明:,特征值的,设,,是实对称矩阵 的不同特征值,,,,分别是属于特征值,,于是,,,得到,(4.12),而,于是有,这样,由 得到,是正交的。,,即,与,特征向量相互正交的线性无关组。,【注】,实对称矩阵,的属于不同特征值的,向量 和 对应特征向量,在4.1中里4中,,例1,矩阵,是实对称矩阵,,特征值(二重),对应特征,都正交。,把它们化为标准正交组。,当然,,彼此不正交,,但可以通过,标准正交化方法,为 矩阵。,把 分块为,,也是 的属于 的,定理4.14,设,是阶,实对称矩
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- 对称 矩阵 特征值 特征向量
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