多元函数的极值及其求法.ppt

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1、12-2 多元函数的极值及其求法,多元函数的极值和最值,引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,显然每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,0、问题的提出,引例2：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买 个U盘，个鼠标达到最佳效果，效果函数为 设每个U盘8元，每个鼠标10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,无条

2、件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件极值.,如引例1。,如引例2。,从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不同，多元函数的极值分为两类：,思考：为什么一元函数的极值没有分类！,两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，先讨论与最值有密切联系的极值问题！,一、多元函数极值的定义,注意：这里要求严格小于。,多元函数极值的定义,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,(1),(3),例1,例,例,例4.,的极值.,定理1(必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极

3、值,取得极值,且在该点取得极值,则有,存在,故,二、多元函数取得极值的条件,该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值！,注：1）几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面；,驻点,偏导存在的极值点,如何判定驻点是否为极值点？（稍后回答）,注意：,2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,如例2，显然函数,不存在。,结论：极值点必在驻点和偏导数不存在的点中！,把驻点和偏导数不存在的点称为可疑极值点.,时,具有极值,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则:1)当,A0 时取极大值;,

4、A0 时取极小值.,2)当,3)当,不证明，自己看第二节(P108).,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,且,例4.,求函数,解:第一步 求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,由上例可知:,例5.讨论函数,及,是否取得极值.,解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都

5、有,可能为,3、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,我们可以把最值问题分为两类：,偏导不存在的点,（1）连续函数在开区域上的最值；,（2）连续函数在闭区域上的最值：,方法：将函数在D内的所有驻点和偏导不存在的点处的,方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界,函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为,最大值，最小者即为最小值.,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小值,为最小值,(大),(大),更特别的，当可微函数在区域内部有最值存在,且只,有

6、唯一的驻点时，则该点必是该最值点！,例6.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成,解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,例7.,解:设水箱长，宽，高分别为 x,y，z,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,故就是求面积A在约束下 的极值,这类最值问题下节讨论！,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,