多元函数微分学的几何应用.ppt

《多元函数微分学的几何应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数微分学的几何应用.ppt（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、,第八章,山东交通学院高等数学教研室,第六节 多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.,置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位,点法式可建立曲线的法平面方程,利用,点向式可建立曲线的切线方程,1.曲线方程为参数方程的情况,设空间曲线 的参数方程为：,(1),及对应于,的邻近一点,则得曲线 在点 M 处的,法平面方程,切线方程,割线的极限位置,就是曲线,用,除上式各分母得,（此时）,切线的方向向量称为曲线的切向量.,就是曲线 在点M处的一个切向量.,所以,例1.求

2、曲线,在点 M(1,1,1)处的切线,方程与法平面方程.,解：,点(1,1,1)对应于,故点M 处的切向量为,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,取x为参数，则可表为参数方程的形式,若空间曲线 的方程为,法平面方程为,切线方程,例2.求曲线,在,处的切线,和法平面方程。,解：,两个方程左右两端分别对 x 求导得，,所以切向量,切线：,法平面：,即,2.曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点,且有,可表示为,处的切向量为,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,法平面方程,例3.求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,解 方程组两边对 x 求导,得,曲线在点 M(1,2,1)

3、处有:,切向量,解得,切线方程,法平面方程,即,点 M(1,2,1)处的切向量,二、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0.,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在.,曲面 在点 M 的法向量:,法线方程,切平面方程,过M点且垂直于切平面的直线,称为曲面 在点 M 的法线.,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面 的方程为显式,

4、在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,例4.求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:令,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,例5.求曲面,在点(2,1,4)处的切,平面及法线方程.,解:,所以曲面在点(2,1,4)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,空间光滑曲面,曲面 在点,法线

5、方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,作业P45 1，4，5,8,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:在曲面上任意取一点,则通过此,2.设 f(u)可微,第七节,证明原点坐标满足上述方程.,点的切平面为,备用题1.证明曲面,与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立.,的所有切平面恒,2.求曲线,在点(1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,