垂线定理及其典型例题.ppt

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1、三垂线定理,复习提问：,1。直线与平面垂直的定义。2。直线与平面垂直的判定定理。,3。证明线面垂直的方法。,4。证明线线垂直的方法。,一、射影的概念,定义：自一点P向平面引垂线，垂足P1 叫做P在平面内的正射影（简称射影）。,如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。,思考：1。两条异面直线在同一平面内的射影的位置关系如何？,2。一个三角形在另一平面中的射影可能是什么图形？,二、平面的斜线、垂线、射影,PO是平面的斜线,O为斜足;,PA是平面的垂线,A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,三垂线定理,性质定理,判定定理,性质定理,结论：aPO,二、三

2、垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,为什么呢？,三垂线定理,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,用法：PA，a，AO是斜线PO在平面内的射影，aAO aPO,思考：如果把定理中的条aAO与结论aPO互换，命题是否成立？,用法：PA，a，AO是斜线PO在平面内的射影，aPO aAO,说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂 直的重要方法。,例题分析：,1、判定下

3、列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面内的射影，则ab。(),2定理的关键找“平面”这个参照学。,强调：1四线是相对同一个平面而言,(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线，且b垂直于a在内的射影，则ab。(),三垂线定理,2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,ABCD是正方形，ACBD 又DD1平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 AC在平面AC内，BD1AC,而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内 BD1平面AB1C,证明：连结BD，,请同学思考：如何证明D1BAB1,连结A

4、1B,三垂线定理,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一垂、二射、三证。即,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点在外，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO,证明：连接PA，OE，OF PEAB，PFAC，P

5、O，ABOE，ACOF（三垂线定理的逆定理）,PE=PF，PA=PA，Rt PAERt PAF。,AE=AF又AO=AO，Rt AOERt AOF。,BAO=CAO,例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20cm,三垂线定理,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20cm BC=20m，,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,三垂线定理,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,小 结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”这个参照系,三垂线定理,例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求点P到平面ABC的距离。,解:作PH平面ABC，,连AH交BC于E，连PE,PA、PB、PC两两垂直PA平面PBC PABC,三垂线定理,