周期序列的傅里叶变换DTFT.ppt

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1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.1 引言,1.时域分析方法,2.频率分析方法,信号和系统的两种分析方法:,本章讲述离散序列的傅里叶变换和z变换，学习信号与系统的频域分析法。,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,(2.2.1),用DTFT(Discrete Time Fourier Transform)缩写字母表示。,2.2.1 序列傅里叶变换的定义,

2、DTFT成立的充分必要条件是:序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,(2.2.2),单位阶跃序列u(n)不满足上式,故其傅里叶变换不能用定义式直接计算.,为求DTFT的反变换，用 乘(2.2.1)式两边，并在-内对进行积分，得到,因此,(2.2.4),证明,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT.,解：,(2.2.5),设N=4，幅度与相位随变化曲线如图所示。,图 2.2.1 R4(n)的幅频与相频曲线,图 2.2.1-1 序列R4(n),N=4,M为整数(2.2.6),2.2.2 序列傅里叶变换的性质,1.DTFT的周期性,n取整数，,因此下式成立,在定义式中，

3、,结论:序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。在=0,2,4,点上表示x(n)的直流分量;=是最高频率。,2.线性,那么,设,(2.2.7),式中a,b为常数,设X(e j)=DTFTx(n)，那么,3.时移与频移,4.DTFT的对称性,(1)共轭对称与共轭反对称以及它们的性质,如果序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称xe(n)为共轭对称序列。,将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n),因此得到 xer(n)=xer(-n)(2.2.

4、11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12),结论:共轭对称序列 的实部是偶函数，而虚部是奇函数。,类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13),并且有 xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15),结论:共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。,实部是偶函数，虚部是奇函数。,例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性,解 将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn,因此 x(n)=x*(-n),即 x(n)是共轭对称序列。,将x(n)展成实部与虚部，得到 x(n)=

5、cosn+j sinn,(2)离散时间序列的DTFT的对称性,对于一般序列可表示成,x(n)=xe(n)+xo(n)=xr(n)+jxi(n),对应的频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：,X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)=XR(ej)+jXI(ej),式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分。它们满足,DTFT的对称性,例：,的DTFT为,证明：,(3)实序列的对称性,如果h(n)是实序列，其频率函数的共轭反对称部分 Ho(e j)=DTFTj hi(n)为零。,故其DTFT只有共轭对称部分He(ej)，即 H(ej)=He(ej),而共轭对称部分He

6、(ej)由下式求出 He(ej)=H(ej)+H*(e-j)/2,所以,H(ej)=He(ej)=H(ej)+H*(e-j)/2,由此推出 H(ej)=H*(e-j).,结论：实序列的傅立叶变换是共轭对称的.而且频域函数的实部是偶函数，而虚部是奇函数.,用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j),(4)因果实序列的确定,实序列h(n)可如下分解：h(n)=he(n)+ho(n),其中 he(n)=h(n)+h(-n)/2 ho(n)=h(n)-h(-n)/2,如果h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：,实因果序列h(n)也可分别用

7、he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(0)(n)(2.2.30),例 2.2.3 x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。,解：x(n)=xe(n)+xo(n),例图,设 y(n)=x(n)*h(n),则 Y(e j)=X(e j)H(e j)(2.2.32),5.时域卷积定理,第二,对于线性时不变系统输出的DTFT等于输入信号的DTFT乘以单位脉冲响应DTFT。,该定理表明,第一,两序列卷积的DTFT，等于两序列的DTFT的乘积。,设 y(n)=x(n)h(n),6.频域卷积定理,(2.

8、2.33),则,7.帕斯维尔(Parseval)定理,帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。,1、非周期序列的傅里叶变换（DTFT）,2、周期序列的傅里叶变换（DTFT）,先将周期序列表示成傅里叶级数（DFS），再求傅里叶级数的傅里叶变换（DFT）。,2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,周期序列的离散傅里叶级数,离散傅里叶级数DFS(Discrete Fourier Series)定义为,(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。是以N为周期的.,(2.3.7)式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2 N-1，

9、幅度为。其基波分量的频率是2/N，幅度是。,重要公式,k,m,n 均为整数,比较：,证明,解：按照(2.3.6)式,例 2.3.1设x(n)=R 4(n)将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求 的DFS。,其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。,图 2.3.1 例图,傅里叶变换,离散非周期,周期连续.,周期序列的离散傅立叶级数,离散周期,周期离散.,例与例比较,时域,非周期离散信号,周期离散信号,频域,连续周期信号,离散周期信号,1、非周期序列的傅里叶变换（DTFT）,2、周期序列的傅里叶级数（DFS）,总结：四种傅里叶变换的比较,四类信

10、号：1、非周期连续信号 2、周期连续信号 3、非周期离散信号 4、周期离散信号,对应这四类信号分别有四种形式的傅里叶变化。,1.非周期连续时间信号的傅里叶变换,非周期连续时间信号 的傅里叶变换对如下：,时域的非周期性导致频域的连续性，时域的连续性导致频域的非周期性。,2.周期连续时间信号的傅里叶变换,周期为 的周期性连续时间信号 的傅里叶变换对如下:,时域的周期性导致频域的离散化，时域的连续性导致频域的非周期性。,非周期离散时间信号的傅里叶变换就是前面讨论的序列傅里叶变换(DTFT），序列傅里叶变换公式重写如下：,3.非周期离散时间信号的傅里叶变换,时域的非周期性导致频域的连续性，时域的离散性

11、导致频域的周期性。,4周期离散时间信号的傅里叶变换,时域的周期性导致频域的离散性，时域的离散性导致频域的周期性；这就是离散傅立叶级数（DFS）。,1、非周期序列的傅里叶变换（DTFT）,2、周期序列的傅里叶变换（DTFT）,先将周期序列表示成傅里叶级数（DFS），再求傅里叶级数的傅里叶变换（DFT）。,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式,将 当作常数,用冲激函数表示 的傅里叶变换.,先将周期序列 展成傅里叶级数,其中，且 为有理数。,周期序列 的傅里叶变换为,(2.3.10),式中,将 k 与 rN 合并,得,是 的离散傅里叶级数。,单位阶跃序列的傅里叶变换,上式两边做DTFT，得：,整理

12、得：,单位阶跃序列不满足绝对可和条件，不能直接用定义计算傅里叶变换。,表,对第一式进行DTFT，得到,例 求例中周期序列的DTFT。,将例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到,解：,有限长序列(N=4)的DTFT,比较周期序列的级数（DFS）,k,例 2.3.3令，2/0为有理数，求其DTFT。,解：将 用欧拉公式展开,上式表明cos0n的DTFT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图所示。,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,时域离散信号,数值上 x(n)=x(t)|t=nT=xa(nT),采样信号,模拟信号,1.5节,2.4

13、节,这里t与的域均在之间。,模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述,连续信号和采样信号之间的关系用下式描述：,式中,采样信号 和连续信号xa(t)，它们分别的傅里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式描述，重写如下：,时域离散信号x(n)或称序列x(n),是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有下面关系式成立：x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)(2.4.3),序列x(n)的傅里叶变换对如下,在连续信号的傅里叶逆变换式 中,令t=nT,得,在频率坐标轴 上截取无限多个积分区间,每个区间间隔为.,图 将频率坐标轴分为无限多个积分区间,上式中，令,再令;因r和n为

14、整数,有,再令r=-r,得：,将=T代入,将此式与序列的傅立叶变换比较,即比较以下两个表达式,在数值上 x(n)=x(t)|t=nT=xa(nT),因此可以得到,这就是时域离散信号x(n)的傅里叶变换X(e j)与连续信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j)之间的关系。,考虑数字频率与模拟频率(=2f)之间的关系：,(2.4.7),=T,比较采样信号 的频谱:,可以得到：,（1.5.5）,1.序列的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的 关系，是模拟信号的傅里叶变换Xa(j)以周期 s=2/T进行周期延拓.,2.频率轴上取值的对应关系用=T表示。,结论：,在一些文献中经常使用归一化频率f=f/fs

15、或=/s，=/2，用图表示。,图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,解：,先求连续信号xa(t)的频谱,例 2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50 Hz，以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号 和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的DTFT。,如图2.4.2(a)所示。,以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，与xa(t)的关系式为,如图2.4.2(b)所示,的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以s=2fs为周期，将Xa(j)周期延拓形成，得到：,x(n)的DTFT,将采样信号 转换成序列x(n)，

16、用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT),代入数字频率与模拟频率(=2f)之间的关系,=T=/fs,将fs=200 Hz，f0=50 Hz，及上式 代入下式：,由 函数的性质 可得：,因此X(ej)用下式表示：,(a)模拟信号xa(t)=cos(2f0t),(b)采样信号,(c)离散信号,时域,图 2.4.2 例图,=T,频域,正弦信号采样频率的选择：,采样频率大于信号最高频率的2倍。,2.5 序列的Z变换,(2.5.1),式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。,(2.5.2),称为双边Z变换。,单边Z变换的定义，如下式,2.5.1 z变换的定义,序列x(n)的Z变换定

17、义为,使(2.5.3)式成立的Z变量取值的域称为收敛域。,双边Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即,(2.5.3),如右图所示的阴影部分。,一般收敛域用环状域表示,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示,分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，,分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。,DTFT和ZT之间的关系，用下式表示：,(2.5.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。,如果已知序列的Z变换,就可用上式求序列的傅里叶变换;条件是收敛域包括单位圆.,例如：,其Z变换为,收敛域,包括

18、单位圆。,其DTFT为,右图中，曲面为H(z)，红色的曲线为。,2.6 利用Z变换分析系统特性,X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。,解：,由X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。,2.5.2 序列特性对收敛域的影响,1.有限长序列,其Z变换为,有限长序列的收敛域表示如下：,(1)n10时，00时，0z,序列x(n)满足下式：,例 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域,解：,收敛域为 0z,2.右序列,右序列的z变换为,收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域为Rx-|z|。Rx-是

19、第二项最小的收敛半径.,右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。,左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零的序列。,左序列的Z变换表示为,3.左序列,收敛域为0|z|Rx+,解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。,例 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域,X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|a|,例 求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,4.双边序列,一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和.,其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+Rx-，其收敛域为Rx-

20、|z|Rx+;如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。,解：,第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1.如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。,例 2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。,|a|z|a|-1,当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图所示。,其Z变换如下式：,图 2.5.2 例图,2.5.3 逆z变换,已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。,式中c是收敛域(Rx-,Rx+)中一条逆时针的闭合曲线.如下图所示。,序列的Z变换及其逆Z变换

21、表示如下：,图 2.5.3 围线积分路径,(2.5.7),式中 表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。,1.用留数定理求逆Z变换,如果zk是单阶极点，则根据留数定理,如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理,如果zk是N阶极点，则根据留数定理,(2.5.8),如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化.,F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面 上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，N=N

22、1+N2，用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：,留数辅助定理:,设被积函数用F(z)表示，即,(2.5.9),设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式。因此,注意(2.5.9)式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。,因此要求 N-M-n1(2.5.10),(2.5.9)式成立的条件是 N-M-n+12,n0时，F(z)的极点有：z=a;,n0时，F(z)的极点有：z=a和 z=0共二个极点;且z=0是n阶极点.,例 2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z变换x(n)。,因此分成n0和n0两种情况求x(n)。,n0

23、 时，,例中n0时F(z)极点分布,n0时，z=0是n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解.,检查N-M-n1是否满足，此处n0，只要N-M0，(2.5.10)式就满足。,即,只要X(z)的分母阶次不高于分子阶次,就可以用留数辅助定理求解.,F(z)圆外没有极点,所以 n0,x(n)=0,X(z)的逆变换为 x(n)=anu(n),收敛域有三种选法，它们是(1)|z|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a|，对应的x(n)是左序列。,例 2.5.7已知，求其逆变换x(n)。,解：,X(z)有二个极点z=a和z=a-1,F(z)的

24、极点:n0,z=a,z=a-1n0,z=a,z=a-1,z=0(n阶),例,图 2.5.5 例2.5.7 X(z)极点分布图,F(z)极点分布图,(1)收敛域|z|a-1|,当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此,这种收敛域是因果的右序列，无需求n0时的x(n).,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。,n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和.,(2)收敛域|z|a|,这种情况原序列是左序列，无需计算n0情况.,最后表示成 x(n)=(a n an)u(-n-1),n 0,n0时，c内极点z=a x(n)=ResF(z),a=an,(3)

25、收敛域|a|z|a-1|,这种情况对应的x(n)是双边序列。,根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。,n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n,最后将x(n)表示为:,x(n)=a|n|,3.部分分式展开法,对于大多数单阶极点的序列，常用这种部分分式展开法求逆Z变换。,（1）X(z)只有N个一阶极点,则,设,（2）X(z)有高阶极点,求出系数Am(m=0,1,2,N)和Bj(j=1,2,s)后，利用下面两个变换式,很容易示求得x(n)序列。,解:,例2.5.10已知，求逆Z变换。,

26、因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3,对照,得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),Rm+=min Rx+,Ry+Rm-=max Rx-,Ry-,2.5.4 z变换的性质和定理,1.线性,设 m(n)=ax(n)+by(n),X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+,则 M(z)=ZTm(n),=aX(z)+bY(z),Rm-|z|Rm+(2.5.15),2.序列的移位,设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+,则,Rx-|z|Rx+(2.5.16),3.乘以指数序列,设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z

27、|Rx+,若 y(n)=anx(n),a为常数,则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z)|a|Rx-|z|a|Rx+(2.5.17),4.序列乘以n,5.复序列的共轭,设,则,设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(2.5.20),若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(2.5.21),6.初值定理,7.终值定理,设 w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+,则 W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw-|z|Rw+,8.序列卷积,Rw-=ma

28、xRx-,Ry-Rw+=minRx+,Ry+,求y(n)的两种方法，（1）直接求解线性卷积（2）用Z变换法,例已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。,解：y(n)=h(n)*x(n),(1),由收敛域判定y(n)=0,n0。,(2),如果 ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z),Ry-|z|Ry+w(n)=x(n)y(n),9.复卷积定理,则,(2.5.24),(2.5.24)中v平面上,被积函数的收敛域为,(2.5.26),围线c位于 公共收敛域内.,解：,W(z)收敛域为|a|z|；,W(

29、z)的收敛域定义为,例已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，a1.若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n),(参见例2.5.7),被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|),积分路径c就位于上述区域.,|z|a-1|,收敛域为|a|v|z|,|z|a-1|,收敛域为|a|v|a-1|,即,v平面上极点：a、a-1和z;位于c内的极点为a。,令,利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,10.帕斯维尔(Parseval)定理,(2.5.27),如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中

30、令v=e j，得到,令x(n)=y(n)得到,(2.5.28)式还可以表示成下式：,(2.5.28),Z变换的性质,设N阶线性常系数差方程为,如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解.,2.5.5 利用z变换解差分方程,1.求稳态解,(2.5.30),由z变换的定义 及性质,对(2.5.30)作z变换得,(2.5.31),2.求暂态解,对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。,设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n0，,已知初始条件y(-1),y(-2)y(-N)。,先求移位序列y(n-m)的单边Z变换。,令,求暂态解用单边Z变换.,在n=0时刻加上输入,

31、同时观察输出;此时的输出不仅与输入有关,还与以前的状态有关，y(n)为暂态解。,(2.5.33),(2.5.34),按照(2.5.33)式对下式进行单边Z变换.,前一项为零状态解,后一项是零输入解.,例已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。,式中，,解：将已知差分方程进行Z变换,收敛域为|z|max(|a|,|b|),式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,于是,表常见序列的Z变换,Z变换的性质,2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,(2.6.1),传输函数与系统函数,当系统初始状态为零时，h(n)=T(n),对h(n)

32、进行傅里叶变换得到H(e j),对h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。,一般称H(e j)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。,(2.6.2),如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：,(2.6.3),2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的 因果性和稳定性,一.因果(可实现)系统,系统极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外(包括)，圆的半径为距离原点最远的极点的模长。,系统单位脉冲响应h(n)一定满足:当n0时，h(n)=0.,二.稳定系统,要求,可得：系统稳定要求收敛域包含单位圆.,对照Z

33、变换存在的条件，,三.因果且稳定系统,即，如果系统因果且稳定,系统函数H(z)的极点集中在单位圆内.,收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|，0r1,例题1 P66 23.,对差分方程y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)两边作z变换,得 Y(z)=z-1Y(z)+z-2Y(z)+z-1X(z),系统函数,零点:z=0极点:z=z1,z=z2,解,零极点分布如图所示,(2)系统是因果的,则H(z)的收敛域为,高阶极点,所以,单位脉冲响应,(3)系统稳定要求H(z)收敛域包括单位圆,H(z)的收敛域为,由系统函数的表达式,单位脉冲响应,H(z)的极点为 z=a，z=a-1

34、。,解：,两个极点将整个z平面分为了三部分：,a-1|z|,0|z|a,a|z|a-1,系统的收敛域取不同的区域，系统的因果性和稳定性是不同的。,(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题)，这是一个因果序列，但不收敛。,(3)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(2)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n

35、)=a|n|（参考例题)，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。,例题2 续,系统的实现:只有稳定系统才能可靠工作。,上述三个系统中只有收敛域为a|z|a-1时，单位脉冲响应为h(n)=a|n|的系统稳定，但此系统非因果，物理上不能实现。,近似实现：将h(n)=a|n|从-N到N截取一段，再右移，得到。是物理可实现的稳定系统。N越大，h(n)越接近h(n)。,图2.6.1 例图示,(b)物理可实现的稳定因果系统,(a)稳定非因果系统,(2.6.4),2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性,式中A=b0/a0，参数A影响传输函数的幅度大小.,式中cr是H(z)的零点，dr

36、是其极点，影响系统特性.,设系统稳定，将z=ej，得到传输函数,下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,将(2.6.4)式分子分母同乘以z N+M，得到,(2.6.5),(2.6.6),设N=M，由(2.6.6)式得到,(2.6.7),在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量 表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量 表示，如图所示。,将它们用极坐标表示:,和 分别称为零点矢量和极点矢量.,将 和 表示式代入(2.6.7)式，得到,系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定,极点矢量之积小,幅度特性取值大;零点矢

37、量之积小,幅度特性取值小.,其中,图2.6.2 频率响应的几何表示法,假定两极点共轭对称,因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。,例2.6.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性。,由H(z)=z-1，极点为z=0.,频率特性H(ej)=e-j 幅度特性|H(ej)|=1 相位特性()=-,频响如图所示。,解：,图2.6.3 H(z)=z-1(H(ej)=ej)的频响,例2.6.3 设一阶因果系统的差分方程为 y(n)=by(n-1)+x(n),用几何法分析其幅度特性。,解：由系统差分方程得到系统函数为,系统极点z=b，零点z=0.极零点分布及幅度特性如图所示。,当位于单位圆上的B点从=0

38、逆时针旋转时，在=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在=时极点矢量长度最长，形成波谷。z=0处零点不影响频响。,H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定.,例2.6.4 已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。,解：,N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图所示。,当从零变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。,幅度谷值点频率为：k=(2 k/N),k=0,1,2,(N-1)。,图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性,一般将具有如图所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。,设N=8，z=1处的极点零点相互抵消。,例2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。,解：,极零点分布及其幅频特性如图所示。,图2.6.6 N=8矩形序列极零点分布及幅度特性,频率特性为,1.(1)(6)(7)2.8.10.14.(1)(2)(3)16.24.,习题:,(2.2.3)式推导,证明：,由傅里叶变换的唯一性，可得：,即：,证明:,利用序列傅里叶变换（DTFT）的唯一性，即,证明：,