向量组的线性关系与秩.ppt

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1、第三讲 向量组的线性关系与秩,考试大纲要求,（一）考试内容,向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关性；向量组的极大无关组和秩；矩阵的秩。,（二）考试要求,1、理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性表示。了解向量组等价的概念。,2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义，了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关性质及判别法。,3、理解向量组的极大无关组和秩的概念，理解矩阵的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。会求矩阵的秩及向量组的极大无关组和秩。,本章的理论基础,线性表示 线性相关性 极大无关组和秩 矩阵的秩,4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组

2、的秩之间的关系。,1、向量,由n个数组成的有序数组称为一个n维向量，这些数为它的分量。,向量可表示成,或,作为向量，它们没有区别，但是作为矩阵它们是不同的！,通常把它们分别称为行向量和列向量。,一、基本概念,一个 的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每一列是一个m维向量，称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵。,例如当矩阵的列向量为 时，记为,矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等，零向量等等。,2、线性运算和线性组合,向量组的线性组合,设 是一组n维向量，是一组数，则称,为 的线性组合，它也是n维向量。,二、线性表示,设 是一个n维向量组.,1.n维向量 可用 表示，即

3、是 的一个线性组合，也就是说存在数组 使得,例如,则,又如,看c,c0,则不能表示,c=0,则,或,问题是:判断 可否用 线性表示?表示方式是否唯一？”这也就是问：向量方程,是否有解？解是否唯一？,设 则此向量方程就是.,反过来,判别“以 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A的列向量组线性表示?表示方式是否唯一？”的问题.,如果向量组 可以用 线性表示,则矩阵 可分解为矩阵 和一个矩阵C的乘积。,例如,则,(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3),一般地C可以这样构造:它的第i个列向量 就是对,的分解系数.称C为 对,的一个表示矩阵.(C不是唯一的),

4、3等价关系：如果 与 互相可表示,就称它们等价，记作,向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组,可以用 线性表示,而 可以用 线性表示,则 可以用,线性表示.,等价关系也有传递性.,三、向量组的线性相关性,1 意义和定义-从三个方面看线性相关性,如果向量组 中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示,就说 线性相关.,如果向量组 中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示,就说 线性无关.,两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如,线性相关,不妨设，即,线性相关。,2、定义 设 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数 使得,则说 线性相关,否则就说它们线性无关.,说明:意义和定义是一致

5、的.比如设 不为0,则,当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.,线性无关即要使得 必须 全为0.,3、“线性相关还是无关”就是向量方程,“有没有非零解”.,如果令，则,线性相关(无关)齐次方程组 AX=0有非零解(无非零解(只有零解).,n个n维向量 线性相关,n个n维向量 线性无关,与线性相关性有关的性质：,线性相关 至少有一个 可以用其他向量线性表示。,线性无关向量组的每个部分组都无关。,当向量的个数s大于维数n时，一定线性相关。,例如若 无关，则 一定无关。,如果 无关，而 相关，则,当 时，表示方式唯一 无关。（有唯一解）,如果 可以用 线性表示，并

6、且t s,则 线性相关。,推论 如果两个线性无关的向量组互相等价，则它们包含的向量个数相等。,表示方式不唯一（有无穷解）相关,A.线性相关。,C.线性相关。,D.线性无关。,例1设 线性无关，而 线性相关，C是任一常数，则（）,B.线性无关。,D,例2（07）设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是()(A)(B)(C)(D),A,四、向量组的极大无关组和秩,1定义,的一个部分组 称为它的一个极大无关组，如果满足：,i）线性无关。,ii）再扩大就相关。,就称(I)为 的一个极大无关组.称(I)中所包含向量的个数为 的秩。记作,条件ii）可换为：任何 都可用 线性表示。也就是 与 等价。,如

7、果 每个元素都是零向量，则规定其秩为0。,由定义可以看出，如果，则,i）的每个含有多于k个向量的部分组相关。,ii）的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组。,秩有以下性质：,无关。,向量组的秩的计算方法：,阶梯形矩阵B,的非零行数。,阶梯形矩阵,如果有零行，则都在下面。各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。（或各行左边连续出现0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。）,台角：各非零行第一个非0元素所在位置。,简单阶梯形矩阵（最简形矩阵）：,（1）台角位置的元素都为1；,是特殊的阶梯形矩阵，特点为：,（2）台角正上方的元素都为0。,每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和

8、简单阶梯形矩阵。,一个矩阵用行初等变换化得的阶梯形矩阵不是唯一的，化出的简单阶梯形矩阵是唯一的。,例3(03四)给定向量组()a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和()b1=(1,2,a+3)，b2=(2,1,a+6)，b3=(2,1,a+4)当a为何值时()和()等价?a为何值时()和()不等价?,例4（06）设 均为n维列向量，A为 矩阵，下列选项正确的是（）(A)若 线性相关，则 线性相关.(B)若 线性相关，则 线性无关.(C)若 线性无关，则 线性相关.(D)若 线性无关，则 线性无关.,A,例5（05）已知，线性相关，并且，求。,例6（10）设，若

9、由 形成的向量组的秩为，则。,6,3有相同线性关系的向量组,两个向量组若有相同个数的向量：,并且向量方程,同解，则称它们有相同的线性关系。,例如，当A经过初等行变换化为B时，A的列向量和B的列向量组有相同线性关系。,它们对应的部分组有一样的线性相关性。,的对应部分组是，,当两个向量组有 相同的线性关系时，,若 相关，有不全为0的 使得,即 是 的解，从而也是 的解，则有,也相关。,极大无关组相对应，从而秩相等。,有相同的内在线性表示关系。,如,例7设,求，找出一个极大无关组，并将其余向量用线性无关组表示。,极大无关组：,或,或,或,例8（11）,不能由,线性表示。,（1）求。,（2）将 由 线

10、性表出。,五、矩阵的秩,1.定义,一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作r(A).,在mn矩阵A中，任取k行k列()，位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。,设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作r(A)。并规定零矩阵的秩等于0。,A的行向量组的秩=C的行向量组的秩=C的列向量组的秩=A的列向量组的秩,2矩阵的秩的简单性质,若矩阵A为mn 矩阵，则,如果，则A行满秩；,如果，则A列满秩；,对于n阶矩阵

11、A，如果，则A满秩。,A满秩 的行（列）向量组线性无关。,可逆,只有零解，唯一解。,命题 初等变换保持矩阵的秩。,3矩阵秩的性质,时，,A可逆时，,B可逆时，,A可逆时，,于是,证：,例9(99)设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则（）,B,例10（08数一）设 为3维列向量，矩阵证明：()秩；()若 线性相关，则。,若，则（A的列数，B的行数）,矩阵的等价,两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.,例11（04）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.,A,C,命题 设A是n阶矩阵，则,证：当 时，A可逆，从而 也可逆，秩为n。,当 时，它的每个余子式（都是n-1阶子式）都为0，从而代数余子式 也都为0，于是,例13（03）设，已知，求 应满足的关系。,练 习,1、已知,则 _,2设,（1）求，找出一个极大无关组，并把其它向量用此极大无关组线性表示。,（2）判断下列部分组中哪几个是极大无关组,