向量与线性方程组.ppt

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1、向量与线性方程组,向量的线性相关性,线性方程组的解的结构,线性方程组的求解,第二章,向量的定义及线性运算,向量与线性方程组,引例 一个方程对应一组数,矩阵的一行对应一组数,线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。,向量的定义,如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。,实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。,几个概念,1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。,2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。,3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。,4、负向量：称向量 为向量 的负向量，记作。,5、向量组：如果n个向量

2、 是同维向量，则称为 向量组,向量的线性运算,1、向量的加减法,2、数乘向量,向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。,向量线性运算的运算律,交换律,结合律,分配律,例1,解,练习：已知，求,解,（1）,则方程组有向量形式,线性方程组的向量表达式,若记,线性方程组,即为系数矩阵的第 列,向量的线性关系,向量的线性关系,解 设,则,所以,线性组合的概念：设有同维向量，如果存在一组数，使得 成立，则称向量 可由向量组 线性表示，或称向量 是向量组 的线性组合。,线性相关、线性无关的概念,显然：含有零向量的向量组是线性相关的。,因为,设有向量组，如果存在一组不全为零的数，使得 成立，则称向量组 线

3、性相关，否则，称向量组 线性无关。即当且仅当 全为零时，才成立，则称向量组 线性无关。,两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。,证明,设,则,所以,所以向量组 线性无关。,称向量组 为n维向量空间的单位坐标向量组。,任何一个n维向量 都可由向量组 线性表示，,解 设,则,利用矩阵的初等变换，可求得,注：有无穷多组解,所以向量组 线性相关。,练习 判断向量组的线性相关性,解 设,则有,证明,例5 已知向量组 线性无关，证明：向量组 线性无关。,设,则,因为 线性无关,所以有,解得,所以向量组 线性无关。,所以有,由于,事实上，可取,则,否则，若,可推得,这与已知矛盾，所以,定理 若向量组

4、线性无关，而向量组 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。,于是,假设另有表达式,则可得,所以,所以 可由向量组 线性表示。,不妨设,于是有,则有,解 设,所以，方程组（*）只有唯一的一组解,所以有,解得,小结：,(3)向量 可由向量组 线性表示,线性方程组 有解,向量组的线性相关性的几个性质定理,1、单个非零向量是线性无关的。,2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。,3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。,4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维

5、无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。,5、n+1 个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。,个数大于维数的向量组是线性相关的。,向量组与矩阵的秩,矩阵的K阶子式的概念,从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。,如,则矩阵A共有 个二阶子式。它们是：,矩阵的秩的概念,矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作 R(A)或 r(A)。,显然，如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，所有高于 r 阶的子式都为零。,例如,因为,所以,如果 A 为 mn 矩阵，则 R(A)min(m,n)。特

6、别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。,定理,推论 任意m个n维的向量线性相关,m*n矩阵A的m个行向量线性相关的重要条件是R(A)m,定理,矩阵A的秩为的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量(如果存在）线性相关,n个n维的向量线性无关的充要条件是他们组成的矩阵的行列式不等于零,推论,m个n维向量线性相关的充要条件是由他 们组成的m*n矩阵的秩为m(mn),推论,行阶梯矩阵，行最简单矩阵 设A为m*n的矩阵，若A为行阶梯，满足下列三个条件（1）a11,a22，ann以下的

7、元素全为零(2)每一行的每一个非零元前面的 零元个数大与前一行的这种零元的个数（3）如果某一行的元全为零，则以下额 所有行的元全为零,非零行的每一个零元为1，且这些非零元1所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵称为行最简单矩阵。,行阶梯矩阵的秩等于非零行的个数，行最简单行矩阵的秩等与1的个数,利用矩阵的初等变换求矩阵的秩,矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：,定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,例 求矩阵的秩,解 将矩阵作初等变换,所以 R(A)=3,行阶梯形,课堂练习：,利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩,答案：,问题：矩阵 B 中是否所有的三阶子式都不为零？,向量组的极大无关组

8、,如果向量组 的部分组 满足（1）线性无关；（2）任意增加一个向量（如果存在的话），向量组 线性相关。则称向量组 为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。,例如：向量组,线性相关，线性无关。,向量组 是向量组 的一个极大无关组。,向量组 也是向量组 的一个极大无关组。,可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。,向量组的秩,向量组 的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩。记作,如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即，则向量组 线性相关。,矩阵A的秩=矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩,可利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量组的秩及极大无关组。,如果向量组

9、的秩等于向量组所含向量的个数，即，则向量组 线性无关。,例1 判别下列向量组的线性相关性,解 令,因为,例2 判别下列向量组的线性相关性,解：令,因为,向量组的等价关系,如果向量组A：中的每一个向量可由向量组B：线性表示，同时，向量组B中的每一个向量可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。,定理：等价向量组的秩相等。,一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。,等价向量组的性质（1）反身性：向量组A与自身等价；（2）对称性：如果向量组A与B等价，则向量组B 与A等价；（3）传递性：如果A与B等价，B与C等价，则A与C等价。,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：作矩阵,例3

10、求下列向量组的一个极大无关组,解法1：.,又,练习 求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。,解 构成矩阵，令,于是，,是它的一个极大无关组。,且,求向量组的极大无关组的另解,重要结论,若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，则 A 的,行向量组与 B 的行向量组等价，而 A 的任意 K 个列向量与,B 中对应的 K 个列向量有相同的相关性；,若矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B，则 A 的,列向量组与 B 的列向量组等价，而 A 的任意 K 个行向量与,B 中对应的 K 个行向量有相同的相关性。,例4 求下列向量组的一个极大无关组,解法2：构造矩阵,因为,而 B 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性,作 业,P63 2.1(3),2.2(2),2.6,2.8预习 线性方程组解的结构 非线性方程组解的结构,