函数、极限与连续(高等数学).ppt

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1、,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,第一章 主要内容,函 数的定义,反函数,隐函数,反函数与直接函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数的性质奇偶性单调性有界性周期性,1、函数的定义,函数的两要素:,定义域与对应法则.,辨别下列各对函数是否相同,为什么?,不同,定义域不同,不同,对应关系不同,相同,定义域和对应关系都相同,函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。,用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：,(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。,(1)

2、在分式中，分母不能为零；,(2)在根式中，负数不能开偶次方根；,(3)在对数式中，真数必须大于零；,(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x-1,1,即,所以定义域为(-,-4)(-4,1)(1,+),即,解得,所以定义域为-1,1)(1,+),(2)要使函数有意义,必须有 且有,解:(1)要使函数有意义，必须有分母,取其公共部分,解,所以定义域为(-3,+),(4)要使函数有意义,必须有,所以定义域为(-1,1),(3)要使函数有意义，必须有,解得,练习：P9 2 3,例.设,求下列函数值,解:,解:,解：,1）,2）,3）,(1)函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,2、函数的性质,(

3、2)函数的单调性:,(3)函数的有界性:,设函数 f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,(4)函数的周期性:,说明：反函数与直接函数之间的关系,3、反函数,6、基本初等函数,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,1.幂函数,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,5.反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,7、复合函数,8、初

4、等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,练习：P10 11,左右极限,两个重要极限,求极限的常用方法,无穷小的性质,极限存在的充要条件,判定极限存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小及其性质,唯一性,两者的关系,无穷大,1、极限,左极限,右极限,2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在,解:,因为,所以,说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者 都存在但不相等，则函数的极限不存在。,左右极限存在但不相等,证,习题：P18 3,定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中 有

5、极限，则其极限是唯一的,定理(有界性定理)若函数f(x)当x x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界,函数极限的性质,定理(保号性),推论,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2、无穷小与无穷大,性质3 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,性质1 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,性质2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷

6、小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节,补充 无穷大与无穷小,定义 若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.,例1,例2,时的无穷小量.,时的无穷小量.,因为所以,因为所以,一、无穷小量,例如函数 时的无穷小，但当时不是无穷小。,当 时，的极限不为零，所以当 时，函数 不是无穷小，而当 时是无穷小量。,应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。,(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.,(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.,(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必

7、是无穷小.,(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,二、无穷小的性质,定理 在自变量的同一变化过程中,例3,解,注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为 不存在.,所以,时的无穷小量.,为有界变量,三、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,定义 在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值 无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作,四、无穷大量,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同 一变化过程中，无穷大的倒数是无

8、穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.,定理 在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大,则 为无穷小;反之,若f(x)为无穷小且f(x)不等于0,则 为无穷大.,例如：,五、无穷小与无穷大的关系,以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.,例4,解,例5考察,六、小结,1、主要内容:,两个定义;定理.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,定理,推论1,推论2,3、极限的性质,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数

9、代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,求极限方法举例,例2,解,例1,解：原式,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例3,解,例4,(消去零因子法),练习,解,解,分母有理化，分子有理化,解：,例5,解,(无穷小因子分出法),例6,解,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,练习,解,例7,解,先变形再求极限.,例8,解,例9,解,左右极限存在且相等,说明：,1 什么情况下，需要分别求左右极限,（）求分段函数连接点处的极限,（）被考虑

10、的函数中，含有某些项其左右极限不相等,.下列几个极限不存在,一个重要的结论,则有,例题,练习：P1920 1,5、判定极限存在的准则,(夹逼准则),(1),(2),6、两个重要极限,=0,注意：,(1),例1,解,例2,解,例3,解,练习：,解答：,(2),注意：,例4,解,练习：,或,例题,例5,解,定义:,7、无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),8、等价无穷小的性质,几个重要的等价无穷小：,当,时，,例,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例,解,解,错,左右连续,在区间a,b上连续,连续函数的 性 质,初等函数的连续性,间断点定义,连 续 定 义

11、,连续的充要条件,连续函数的运算性质,非初等函数的连续性,1、连续的定义,从而，,则一定满足以下条件,例1,证,由定义2知,2.单侧连续,定理,3、连续的充要条件,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,通俗的说即一笔划过,5、间断点的定义,1.跳跃间断点,例,解,6、间断点的分类,2.可去间断点,例,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如上例中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间

12、断点,跳跃型,3.第二类间断点,例,解,例,解,例,解,函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义,所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点,所以x=-1是函数的无穷间断点,所以x=0是函数的跳跃间断点,(),(),所以x=1是函数的可去间断点,(),解,分界点为 x=1,x=2,（i）当 x=1时,所以 x=1 是函数的跳跃间断点,练习：考察函数,（ii）讨论 x=2,而f(2)=5,所以x=2是函数的连续的点,因此,分段函数的分界点是可能间断点,例,解,7、闭区间的连续性,8、连续性的运算性质,定理,定理,9、初等函数的连续性,定理,定理 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,10、闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,定义:,几何解释:,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,补充：已知,，求k的值,解：因为,所以,即,因此,由,