两向量的混和积.ppt
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1、三、两向量的混和积,1.定义2,称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量,的混合积,记作,设有三个向量,则有,设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式,混合积性质:,事实上,若,在同一个平面上,则 垂直于它们所在的平面,故 垂直于,即,()=0,(2),共面=0,混合积()的绝对值等于以,为棱的平行六面体的体积 V 的数值。,平行六面体,所以,,=|()|,3、混合积()的几何意义,h,V=S h=,底面积,高 h 为 在 上的投影的绝对值,a b=|a|Prjab,例5:,已知空间内不在一个平面上的四点 A(x 1,y 1,z 1
2、),B(x 2,y 2,z 2),C(x 3,y 3,z 3),D(x 4,y 4,z 4)求四面体 ABCD 的体积。,解:,即,所以,,V=,其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。,3平面及其方程,(一)平面的点法式方程,1.法向量:,若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面 的法向量.,注:1 对平面,法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.,一、平面方程,2.平面的点法式方程,设平面 过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).,得:,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0,称方程(1)为平面的点法式方程.,(1),例1:求过点
3、(2,3,0)且以 n=(1,2,3)为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1(x 2)2(y+3)+3(z 0)=0,即:x 2y+3z 8=0,解:先找出该平面的法向量n.,=14i+9j k,例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.,所以,所求平面的方程为:,14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0,即:14x+9y z 15=0,即,(二)平面的三点式方程,设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,(三)平面的截距式方程,则,有,得,(3),(四)平面的
4、一般方程,1、定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:,n=(A,B,C),证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为,它表示过定点,且 法向量为 n=(A,B,C)的平面.,注:一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4),称为平面的一般方程.,例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(2 3,4),2(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0,即:2x 3y+4z 4=0,2.平面方程的几种特殊情形,(1)过原点的平面方程,由于O(0,0,0)
5、满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:,A x+B y+C z=0,Ax+By+Cz+D=0,(2)平行于坐标轴的平面方程,考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x 轴上的单位向量 i=(1,0,0)垂直,所以,n i=A 1+B 0+C 0=A=0,于是:,平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;,平行于z 轴的平面方程是 Ax+By+D=0.,特别:D=0时,平面过坐标轴.,(3)平行于坐标面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是 Cz+D=0;,平行于xOz 面的平面方程是 By+D=
6、0;,平行于yOz 面的平面方程是 Ax+D=0.,(即z=k),(即y=k),(即x=k),例4:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.,设所求平面的方程是 By+Cz=0,又点(4,3,1)在平面上,所以,3B C=0,C=3B,所求平面方程为 By 3Bz=0,即:y 3z=0,若已知两平面方程是:,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,法向量 n1=(A1,B1,C1),2:A2x+B2y+C2z+D2=0,法向量 n2=(A2,B2,C2),1.定义1,两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,二、两平面的夹角,所以,平面1与
7、2 相互平行,规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.,平面1与2 相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0,特别:,例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.,解:设所求平面的一个法向量 n=(A,B,C),已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=(1,1,1),于是:,A(1)+B 0+C(2)=0 A 1+B 1+C 1=0,解得:,B=CA=2C,取C=1,得平面的一个法向量,n=(2,1,1),所以,所求平面方程是,2(x 1)+1(y 1)+1(z 1)=0,即:2x y z=0,M1(1,1,1),M2(0,1
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- 向量 混和
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