《概率论与数理统计》期末复习题.ppt

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1、题目类型：选择题，填空题，计算题。提醒注意以下几点：1、概率论部分中的古典概率计算只要求常见类型如抽球问题和分球入盒问题2、要求熟知事件关系及其运算，各种概率计算公式等；3、常用分布的概率计算以及性质，数学期望与方差；4、一维、二维随机变量的分布函数密度函数之间的关系以及运算,随机变量的独立性与相关性的关系以及判别；5、随机变量数学期望与方差以及协方差与相关系数的性质与计算；6、掌握正态分布随机变量的有关计算以及利用中心极限定理的计算；7、数理统计的基本概念，常用的抽样分布以及各分布表分位点的性质；8、掌握参数估计中的矩估计与极大似然估计、估计量的无偏性和有效性；9、区间估计与假设检验，只考单

2、个正态总体的两个参数的区间估计和假设检验，对于假设检验，要求会区分并进行单侧或双侧检验。,概率论与数理统计 复习,一、填空题,1.设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C都不发生”可 表示为_;事件“A、B、C不都发生”可表示为_ 事件“A、B、C都不发生”可表示为_。,2.100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为_（只写算式）。,3.已知随机变量X的分布函数为,，则P(X=1)=_0.4，P(X=2.5)=0_,N(0,1)。,_1/3_,7.在假设检验中若原假设H0实际为真时却拒绝H0，称这类错误为 弃真（第一类)错误,9.若X2(10)，则E(X)=10，D(X)=20

3、,10.P(2(11)s)=0.05,则,13.已知A,B为两事件，,14.已知A，B为两事件，,15.设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，则E(2X+3Y)(4Z-1)=27/2,16.若X与Y相互独立，则必有X与Y 不相关,二、解答题,1.将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为 0.02，而 B被误收作 A的概率为 0.01.信息 A与信息 B传送的频率程度为2:1。(1)若接受站收到一信息，是 A的概率是多少？（2）若接受站收到的信息是 A，问原发信息是 A的概率是多少？,分别表示收到A,B,事件独立性的应用举例,

4、1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则,2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则,2.甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件，C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.90.8=0.98,另解,3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率 分别为1/5，1/3，1/4。（1）求密码能破译的概率；（2）求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的

5、概率。,解 设A，B，C分别表示甲、乙、丙译出的事件，D表示密码被破译的事件，E表示恰有一人译出的事件，则,解：,解：,得a=1,6.设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率,解 设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：,X的分布函数：,7.离散型随机变量X的分布函数为,求a,b及X的分布律,E(X),D(X)。,解 因P(X=2)=a+b-(2/3

6、-a)=1/2，a+b=1 于是a=1/6,b=5/6 X的分布律为,8.设连续型随机变量X的分布函数为 求（1）常数A，B的值；（2）P（-1X1）；（3）求X的密度函数。,10.二维随机变量（X,Y)的联合密度函数为,(1)试确定常数A；(2)求关于X和Y的边缘密度函数；(3)判断X和Y是否相互独立。,解：(1),所以 X与Y不独立,（2）试问X与Y是否相互独立？,解：（1）,当0 x1,当0y1.,所以X与Y不独立,(1)求常数K；(2)求联合分布函数F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y1)。,12.已知,解(1),K=6,O x,y,x+2y=1,(2),(3),13.设二维随机变量

7、(X,Y)具有概率密度函数,(1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？,O x,y,解,由于f(x,y)=fX(x)fY(y)，因此X与Y相互独立。,14.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,其中p+q=1，求相关系数XY，判断X,Y相关性和独立性。,解 由题意可得X,Y的边缘分布律为,均为01分布，E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00q+010+100+11ppp=pp2=pq因此,（1）X,Y正相关（2)X,Y不独立,解,15.设(X,Y)服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系

8、数。,16.(X,Y)的联合分布律如下：试求(1)X,Y的边缘分布律。,解,(1)X和Y的边缘分布律分别为,17.某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩X近似地服从正态分布,平均成绩 72分，96分以上的占考生总数的2.3，求考生的概率统计成绩在60分至84分之间的概率。,18.某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为1千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？,解：设至少需供给nE千瓦电量,X为同时开动的车床数，则,的极大似然估计量。,解：(1),解得矩估计量为：,(2)似然函数为,解得极大似然估

9、计为：,的95%的置信区间,解:(1)这是一个总体方差未知求,的置信度为0.95的置信区间的问题,(2)这是一个求,的置信度为0.95的置信区间的问题,21.某校进行教学改革，一学科学生成绩X服从正态分布，,均未知。,现抽测19人的成绩如下：,70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47,问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？,解：检验,选取统计量：,由题意条件得：,故拒绝 H0,即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。,拒绝域,假设检验九种类型！,22.,(X1,X2,X6)为X的一个样本,求常数C使

10、得CY服从2分布。,解 因为(X1,X2X6)为X的一个样本,XiN(0,1)，i=1,26,则,所以，取常数C=1/3使得CY服从2分布,23.设总体X服从N(0,1)，样本X1,X2Xn来自总体X，试求常数c使统计量 服从t-分布.,24.(X1,X2,X5)为取自正态总体XN(0,2)的样本，求统计量,的分布,解,25.设离散型随机变量X有如下分布律，试求随机变量Y=(X-3)2+1的分布律,解 Y的所有可能取值为1，5，17,故，Y的分布律为,设(X1,X2,Xn)是正态总体N(,2)的样本，则(1),(2),(3),与S2独立,(4),26.设X1，X2，X25是取自N（21，4)的

11、样本,求（1）样本均值的数学期望和方差；,解：,27.设X1，X10是取自N（2，16)的样本,求a。解：,28.设X1，X2,，X8 是取自N(1,9)的样本,求样本方差 S2的期望与方差。解：,29.设X1，X2,，X9 是取自N(0,9)的样本,求解：,30.设总体X的k阶矩存在，则不论X的分布如何，样本k阶原点矩,是总体k阶矩的无偏估计。,证明,设X的k阶矩 k=E(Xk)，k1,(X1,X2,Xn)是来自正态总体X的一个样本，则,所以Ak是k的无偏估计.,31.设XN(0,2)，,证明 是2无偏估计。（2）求,(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,是2无偏估计。,32.设(X1

12、,X2,Xn)是总体X的一个样本，,33.设(X,Y)服从N(1,0,9,16,-0.5)分布，Z=X/3+Y/21)求Z的概率密度，2)求X与Z的相关系数，3)X与Z是否相互独立？解：（）XN(1,9),YN(0,16),XY=-0.5,注：(X,Y)N(1,2,12,22,)，X与Y相互独立 X与Y不相关。其中=cov(X,Y)。,（2）cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0,(3)X与Z相互独立,ZN(1/3,3),34.设随机变量XB(

13、12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。解：XB(12,0.5),YN(0,1)E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=3E(Y)=0,D(Y)=1,D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)=D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y)=16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33,D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y)=4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44,COV(V,W)=COV

14、(4X+3Y+1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X+4Y)+COV(3Y,-2X+4Y)+COV(1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y)=-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y)=-8*3+10*(-1)+12=-22,六个重要分布的数学期望和方差,（1）01分布 XB(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=qE(X)=p，D(X）=p(1-p）（2）二项分布XB(n,p)E(X)=np D(X)=npq分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n（3）Poisson分布 XP()（4）均匀分布XUa,b 密度函数为（5)正态分布(6)指数分布 P48与P100两种定义式,E(X)=,D(X)=2,