【教学课件】第三章控制系统数学模型.ppt

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1、第三章 控制系统数学模型,上次课简单回顾：matlab基础主要内容动态过程微分方程描述Laplace变换传递函数、零极点模型、状态空间模型之间的相互转换模型连接（串联-并联-反馈）,3.0 引言,1）系统-模型-仿真：先有数学模型，然后才能进行仿真；2）线性定常系统：线性系统、系数不随时间变化；3）模型：传递函数、状态空间、零极点增益模型,3.1 动态过程微分方程描述,1）给定一个实际的控制对象，我们往往需要通过机械、电学、力学等专业领域知识建立该系统的数学模型，首先得到的就是一个微分方程。2）针对线性定常系统而言，得到的是常系数的线性微分方程。3）如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进

2、行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。4）微分方程是控制系统模型的基础。,3.1 动态过程微分方程描述,例子,电路图如下：R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压。1）建立该电路的微分方程式；2）求0t15s时，i(t)，vo(t)的值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。,3.1 动态过程微分方程描述,例子 建立系统微分方程的思路：1）确定电路的输入和输出量；输入：Vs，输出：vo2）列出原始的微分方程式；3）消去中间变量。,3.1 动态过程微分方程描述,例子,代码：ch3_exam1.m,rlcsy

3、s.m note:ode45：4/5阶龙格-库塔法，后续课程会介绍到。,3.2 Laplace变换,问题：1）Laplace变换的定义？2）为什么要进行Lapalce变换？3）如何通过Laplace变换构建传递函数？4）在matlab中，Laplace变换如何实现？,3.2 Laplace变换,答案：1）Laplace变换的定义？2）为什么要进行Lapalce变换？3）如何通过Laplace变换构建传递函数？4）在matlab中，Laplace变换如何实现？符号计算，“laplace”指令,3.3 动态过程的传递函数描述,问题：输入u-输出y之间的关系用微分方程表达如下，求对应的系统传递函数。

4、,3.3 动态过程的传递函数描述,传递函数的matlab表达：系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示：num=b0,b1,bm den=a0,a1,an注意：它们都是按s的降幂进行排列的。,传递函数：将式子在零初始条件下，两边同时进行拉氏变换，则有连续系统的传递函数如下：,3.3 动态过程的传递函数描述,例子：某系统的微分方程表达如下，用matlab求其传递函数。,代码：num=1 4 8;den=1 11 0 10;g=tf(num,den);,零极点模型:分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零

5、点和极点的表示形式。,K为系统增益 zi为零点 pj为极点,3.3 动态过程的传递函数描述,在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnK=k函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。,3.3 动态过程的传递函数描述,例子：已知系统的传递函数，求其分子分母多项式，并绘制零极点图。,3.3 动态过程的传递函数描述,代码：ch3_exam2.mNote:tf2zp、pzmap的用法；,控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进

6、行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。b,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。,3.3 动态过程的传递函数描述,练习：部分分式展开,3.3 动态过程的传递函数描述,练习：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4;r,p,k=residue(num,den),p=0.0000+2.0000i-1.0000,k=2,r=0.0000+0.2500i-2.0000,结果表达式：,3.3 动态过程的传递函数描述,1）状态空间表达式=状态方

7、程+输出方程。又称为动态方程。2）note：与传递函数相比，状态空间揭示了系统内部状态对系统性能的影响。,3）在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示，对应的指令是：ss（A,B,C,D）。,3.4 状态空间,举例：系统为一个两输入两输出系统A=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;B=4 6;2 4;2 2;1 0;C=0 0 2 1;8 0 2 2;D=zeros(2,2);G=ss(A,B,C,D);,在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。模型转换的函数包括：residue：传

8、递函数模型与部分分式模型互换ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型,一、模型的转换,3.5 模型转换与连接,用法举例：1）已知系统状态空间模型为：求传递函数以及零极点模型。A=0 1;-1-2;B=0;1;C=1,3;D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1 5 2;den=1 2 1;z,p,k=s

9、s2zp(A,B,C,D,iu)z=-4.5616 p=-1 k=1-0.4384-1,2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：求状态空间表达式。num=0 0-2;0-1-5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A=-6-11-6 B=1 C=0 0-2 D=0 1 0 0 0 0-1-5 0 0 1 0 0 1 2 0 0,3）系统的零极点增益模型：求传递函数。z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num=0 0 6 18 den=1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a=-1

10、.0000 0 0 b=1 2.0000-7.0000-3.1623 1 0 3.1623 0 0 c=0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。,4）已知部分分式：求传递函数。r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num=2 0 9 1den=1 1 4 4,1、并联：parallel格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)并联连接两个状态空间系统。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)将并联连接

11、的传递函数进行相加。,二、模型的连接,3.5 模型转换与连接,1、并联：parallel格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,un依次编号为1,2,n；out1和out2分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。若inp1=1 3,inp2=2 1则表示系统1的第一个输

12、入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。,二、模型的连接,3.5 模型转换与连接,2、串联：series格式：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)串联连接两个状态空间系统。a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2)out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输入进行连接。num,den=series(num1,den1,num2,den2)将串联连接的传递函数进行相乘。,3.5 模型转换与连接,3、反馈：feedback格式：a,b,c,d=feedba

13、ck(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign=-1。总系统的输入/输出数等同于系统1。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)部分反馈连接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入，系统2的输出连接到系统

14、1的指定输入inp1，以此构成 闭环系统。num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign的含义与前述相同。,4、闭环：cloop（单位反馈）格式：ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,sign)通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间模型。当sign=1时采用正反馈；当sign=-1时采用负反馈；sign缺省时，默认为负反馈。ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs)表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inp

15、uts，以此构成闭环系统的状态空间模型。一般为正反馈，形成负反馈时应在inputs中采用负值。numc,denc=cloop(num,den,sign)表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上述相同。,举例应用：1）系统1为：系统2为：（exp3_2.m）求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。,2）exp3_3.m系统1、系统2方程如下所示。,求部分并联后的状态空间，要求u11与u22连接，u13与u23连接，y11与y21连接。,本章小结在进行控制系统的仿真之前，建立系统的模型表达式是关键的一步。对于控制系统，有不同的分类，在本课程中主要讨论的是线性定常连续系统系统的描述有不同的方法：微分方程；传递函数；零极点增益模式；部分分式展开；状态空间模型等。系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种模型之间转换的命令。模型之间可以进行连接，要求掌握常用的模型连接命令：串联、并联、反馈及闭环。,