《高阶谱估计》PPT课件.ppt
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1、2023/8/8,1,第三章 高阶谱估计,3.1 累积量及高阶谱3.2 高阶谱估计3.3 有色噪声背景下的频率估计3.4 高阶谱的应用,2023/8/8,2,、累积量的定义 1、随机变量的特征函数和矩函数,为,的第一特征函数。其中,为概率密度函数,3.1 累积量与高阶谱,2023/8/8,3,第二特征函数:,随机变量的特征函数,由于,2023/8/8,4,高斯分布的随机变量特征函数,其特征函数为:,2023/8/8,5,令,则,根据公式:,则,2023/8/8,6,1、矩函数的定义,2023/8/8,7,2、累积量的定义,对于随机矢量,其阶数为,的累量为,2023/8/8,8,当,时,其n阶累
2、量可记为:,2023/8/8,9,对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相等,而,(M-C公式):,3.高阶矩与高阶累量的关系,2023/8/8,10,4、平稳随机过程的累量,对于零均值实平稳随机过程x(n),其k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为:,2023/8/8,11,为方差,为斜度,为峭度,当,时,特别称,2023/8/8,12,5、高斯过程的累积量,单个高斯随机变量,维零均值高斯随机矢量,2023/8/8,13,其方差矩阵为,其中,令联合概率密度函数为,高斯随机矢量,5、高斯过程的累积量,2023/8/8,14,则特征函数为:,显然,与单个变量类似,由于第二特征函数仅为的二阶多项式
3、,大于二阶的导函数必然为零。,5、高斯过程的累积量,2023/8/8,15,对于任何高斯随机过程x(n)的阶次高于二的k阶累量恒等于零,即,这是高阶累量作为数学工具,抑制高斯噪声的基础,结论,2023/8/8,16,高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩,也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息.与某一高斯过程具有相同二阶矩的任意随机过程,其k2的高阶累量是衡量该过程偏离高斯分布的量度.,2023/8/8,17,常量乘积的线性,各随机变量的对称性,、累量的性质,2023/8/8,18,累量的性质,此性质说明:两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和.所以,非高斯信号与独立高斯噪声之和的k(k2)阶累量
4、就等于信号的累量.即累量可抑制高斯噪声.,若x和y统计独立,则,2023/8/8,19,累量的性质,设有一组线性独立的随机变量 和随机变量y,且有:,则y的k阶累积量为:,其中 是随机变量 的k阶累积量,i=1,2,P.,2023/8/8,20,两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零.即若x与y统计独立,则,累量的性质,2023/8/8,21,推论:如果w(t)是独立同分布随机过程(I.I.d),则其累量为函数.即,式中,为常量。所以IID过程w(t)又称广义白噪声过程,2023/8/8,22,归一化累积量,在盲解卷积中,有时希望累积量与信号的幅度无关,即W和aW的累积量是一样的,a是非零
5、常数。此时就要定义(p,q)阶的归一化累积量:,其中 不为零。通常阶数p、q取为pq。一般取q=2,这时。当采用归一化累积量时,显然有 成立,即归一化累积量与信号的幅度无关。,2023/8/8,23,、高阶谱,1、定义:假定随机过程x(n)的k阶累量是绝对可和的,则其k阶谱是k阶累量的(k-1)维傅里叶变換,即,2023/8/8,24,当k=3时,三阶谱(双谱),并记为:,四阶谱(三谱):,高阶谱的逆变換公式为:,2023/8/8,25,高斯过程的k2的k阶谱恒为零;非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱为平坦谱,即,(常数),两种特殊的高阶谱:,2023/8/8,26,2、高阶谱的
6、性质:,高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息,2023/8/8,27,高阶谱是以2为周期的多维周期函数,即,包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:,2、高阶谱的性质:,2023/8/8,28,高阶谱具有对称性(源于累量的对称性),以双谱为例,此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即,2、高阶谱的性质:,2023/8/8,29,所以,双谱共有12个对称区域(如图所示),2023/8/8,30,综合考虑周期性与对称性,双谱的主值区域为:,2023/8/8,31,2023/8/8,32,3.2 高阶谱估计,从己知一段样本序列x(1),x(2),.,x(N)出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类似
7、,也可分为非参数法和参数法两大类。、非参数法谱估计 1、基本思路:假定n=N+1范围内,样本值x(n)=0,由高阶谱的定义直接构造谱估计式。,2023/8/8,33,2、优缺点:,非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用FFT算法。但与功率谱估计的传统方法一样,它存在以下三个主要问题:,频谱泄漏:平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列,在非参数法高阶谱估计中假定n=N+1时x(n)恒等于零,必将导致矩函数的估计结果被“截尾”,与传统的功率谱估计方法类似,这将在所估计的高阶谱中产生“频谱泄漏”。为改善高阶谱估计的性能,减少“频谱泄漏”,必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理。,2023/
8、8/8,34,频率分辨率:在非参数法高阶谱估计中,其富里叶变换都是用DFT实现的。因此,最后得到的高阶谱谱线间的距离(频率分辨率)必然与所用的样本序列的长度成反比。即用于计算DFT的时间序列长度越长,则频率分辨率越高。,2023/8/8,35,估计方差:可以证明,非参数法高阶谱估计是渐近无偏的,但一般存在较大的估计方差。为减少估计方差,可采用时域平滑或频域平滑的方法,但平滑的结果必然使频率分辨率下降。,因此,估计方差与频率分辨率之间的矛盾是非参数法谱估计的固有矛盾。,2023/8/8,36,3、确定性信号的高阶谱,2023/8/8,37,平滑周期图法(直接法),4、主要方法:,2023/8/8
9、,38,MATLAB实现:bspec,waxis=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap)x:时域信号;nfft:FFT的长度;wind:Rao最优窗函数的长度;samp_seg:每个分段的长度;overlap:每段重迭长度;bspec:等高线显示的直接法双谱;waxis:频率点矩阵;,2023/8/8,39,间接法:先估计高阶累量,再进行DFT。,MATLAB实现:bspec,waxis=bispeci(x,nlag,samp_seg,overlap,flag,nfft,wind,)x:时域信号;nfft:FFT的长度;wind:窗函数类型;samp_seg
10、:每个分段的长度;overlap:每段重迭长度;nlag:计算累积量的最大延迟;flag:是否有偏;bspec:等高线显示的间接法双谱;waxis:频率点矩阵;,4、主要方法:,2023/8/8,40,1、BBR公式:与功率谱估计类似,参数法高阶谱估计仍是依据高阶谱的信号模型。但与功率谱估计不同之处在于:它不限定信号模型为最小相位系统,并且广义白噪声过程e(n)应为非高斯分布。,3.2.2、参数法谱估计的基本思路,2023/8/8,41,对于上述信号模型,有卷积定理成立,两边取k阶累量,并注意到广义白噪声的累量为多维函数,即得,2023/8/8,42,写成Z域形式即得,2023/8/8,43,
11、推广到e(n)为非高斯有色噪声的一般情况有:,2023/8/8,44,对于因果非最小相位系统(极点在单位园内,但零点可在单位园外。所以传递函数必在单位园外收敛,其单位取样响应必为因果序列)则得,2023/8/8,45,对于常用的双谱和三谱估计,则有:,2023/8/8,46,由己知的一段样本序列x(n)估计k阶累量,一般k=;,按一定算法建立k阶累量与信号模型参数的关係式,求解此关係式得模型参数;,按BBR公式求信号x(n)的k阶谱。,所以,k阶谱估计的主要问题是如何执行第二步。,对巳知信号进行去均值的予处理;,2、谱估计的基本思路:,2023/8/8,47,基于MA因果信号模型的算法推导思路
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