第三章离散傅里叶变换.ppt
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1、2023/8/8,第三章 离散傅里叶变换,Discrete Fourier Transform,福建农林大学金山学院信息与机电工程系(),数字信号处理 Digital Signal Processing,2023/8/8,本章内容,一.引言二.周期序列的离散傅立叶级数三.离散傅立叶变换四.DFT性质五.频域采样定理六.利用DFT对连续时间信号的逼近,2023/8/8,DFT是分析有限长序列的有用工具,它既是理论分析的重点,也是实际运算的核心,在本质上,有限长序列的离散傅立叶变换和周期序列的离散傅立叶级数上一样的。DFT是有限长序列的一种傅立叶表示法,时域和频域皆离散的变换。FFT算法是DFT变
2、换的计算机算法实现。,一、引言,2023/8/8,DFT要解决两个问题:时域、频域的离散(t-n,w-k)与幅值的量化快速运算(FFT),当两个变量域的自变量分别取连续和离散值时,形成不同形式的傅立叶变换对。,2023/8/8,连续时间非周期信号的傅立叶变换为,傅立叶变换,2023/8/8,傅立叶级数,当x(t)为连续时间周期信号时,可展开为傅立叶级数,2023/8/8,对离散序列x(n),其傅立叶变换为,若x(n)是信号x(t)的采样序列,采样间隔为T,则有:,序列的傅立叶变换,2023/8/8,上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续),因而不适合进行数字计算。,时域的离散造成频域的延拓(
3、周期性),因而频域的离散也会造成时域的延拓(周期性)。,离散傅立叶变换,对序列的傅立叶变换在频域上加以离散化,令 从而,2023/8/8,四种形式归纳,2023/8/8,对一个周期为N点的周期序列显然(周期循环,永不衰减)周期序列不绝对可和。故Z变换不存在。,类似连续时间信号的傅立叶级数分析,我们有序列的离散傅立叶级数。,二、离散傅立叶级数(DFS),2023/8/8,可得离散傅立叶级数变换对:,周期序列的DFS可以看成是对序列的某一个周期x(n)作Z变换,然后在Z平面单位圆上等间隔2/N采样得到的:,2023/8/8,2023/8/8,-,解:根据定义求解,2023/8/8,DFS变换对公式
4、表明,一个周期序列虽然是无穷长序列,但是只要知道它一个周期的内容(一个周期内信号的变化情况),其它的内容也就都知道了,所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的,因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。,对周期序列,只要研究一个周期的性质,就可以“窥一斑而知全貌”。,说明,2023/8/8,对周期序列,在一个周期的所有点的信息描述了该序列的情况,并且可用DFS来加以分析。对长度为N的有限长序列x(n),可以视作是周期为N的周期序列,从而利用周期序列的DFS来加以分析和研究。有限长序列的傅立叶变换称为离散傅立叶变换DFT(Discrete Fourier Transform),三、离散
5、傅立叶变换DFT,2023/8/8,主值序列,主值序列,DFT变换对,DFS变换对,定 义,2023/8/8,定 义,对有限长序列x(n),构造其周期延拓序列,2023/8/8,将DFS的求和限于主值区间,得到了有限长序列x(n)的离散傅立叶变换DFT。,其中:x(n)为时域有限长序列,n是时间t的离散,X(k)是频域有限长序列,k是数字频率的离散,有限长序列的DFT变换对用一个公式描述了两个序列(N点)之间的相互关系,是同一个信号在不同变换域中的体现,二者信息等量,互为一一确定。,2023/8/8,有限长序列的DFT是有限长的DFT与DFS无本质区别,DFT是DFS的主值,定 义,记旋转因子
6、:,2023/8/8,DFT和DTFT,ZT,DFS的关系 设序列x(n)的长度为M,DFT与ZT关系:DFT与DTFT关系:,DFT与DFS的关系:,2023/8/8,隐含着周期性,一.预备知识 1.余数运算表达式 如果,m为整数;则有:此运算符表示n被N除,商为m,余数为。是 的解,或称作取余数,或说作n对N取模值,或简称为取模值,n模N。,2023/8/8,例,隐含着周期性,2023/8/8,先取模值,后进行函数运作;而 将 视作周期延拓。,2.,隐含着周期性,2023/8/8,3.主值序列,隐含着周期性,2023/8/8,.,.,n,0,N-1,定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为
7、主值序列或区间。,隐含着周期性,2023/8/8,周期延拓Matlab程序,subplot(1,1,1)%画x(n+4)11的图n=0:10;x=10*(0.8).n;n1=-11:21;x1=zeros(1,11),x,zeros(1,11);subplot(2,1,1);stem(n1,x1);title(初始序列 x(n)axis(-10,17,-1,11);text(18,-1,n)x2=x,x,x;subplot(2,1,2);stem(n1,x2);title(周期延伸)axis(-11,21,-1,11);text(18,-1,n),隐含着周期性,2023/8/8,隐含着周期性,
8、2023/8/8,例 周期延拓,(1)周期延拓:N=5时,(2)周期延拓:N=6时,补零加长,2023/8/8,2023/8/8,有限长序列隐含着周期性。,2023/8/8,2023/8/8,2023/8/8,例,2023/8/8,DFT的性质,设:N点有限长序列x1(n)和x2(n)有:,2023/8/8,1、DFT的线性,说明:1)当有限长序列x1(n)和x2(n)的长度皆为N点,则结果也在主值区间有效。2)当二者不等时,短序列补零对齐。,2023/8/8,2、DFT的循环移位,2023/8/8,周期延拓,左移2,2023/8/8,有限长序列的移位只观察n=0到N-1这一主值区间的情况,当
9、某一抽样从此区间一端移出时,与它相同值的序列值又从此区间的另一端进来。如果把 排列在一个N等分的圆周上,序列的移位就相当于在圆上旋转,故称作圆周移位。当围着圆周旋转观察时,看到就是周期序列。,2023/8/8,subplot(1,1,1);%画x(n-6)15的图n=0:10;x=10*(0.8).n;y=cirshift(x,6,15);%右移n=0:14;x=x,zeros(1,4);subplot(2,1,1);stem(n,x);title(初始序列)ylabel(x(n);axis(-1,15,-1,11);text(15.5,-1,n)subplot(2,1,2);stem(n,y
10、);title(循环移位序列,N=15)ylabel(x(n-6)mod 15);axis(-1,15,-1,11);text(15.5,-1,n),循环移位程序,2023/8/8,function y=cirshift(x,m,N)%长度为 N 的x序列:(时域)作m采样点圆周移位%y=cirshift(x,m,N)%y=包含圆周移位的输出序列%x=长度 N error(N 必须=x的长度)endx=x zeros(1,N-length(x);n=0:1:N-1;n=mod(n-m,N);y=x(n+1);,循环移位程序,2023/8/8,2023/8/8,有限长序列的循环移位导致频谱线性相
11、移,而对频谱幅度无影响。,2023/8/8,3、共轭对称性,证,2023/8/8,设有限长N点序列x(n),2023/8/8,对实部:,称 Xep(k)为X(k)的共轭偶部(圆周共轭对称分量)。,圆周共轭对称,2023/8/8,对虚部同理可证:称Xop(k)为X(k)的共轭奇部(圆周共轭反对称分量)。,圆周共轭反对称,2023/8/8,几种特例,1)当x(n)为实序列时,X(k)=Xep(k)有:2)当x(n)为纯虚序列时,X(k)=Xop(k),利用对称性只需计算X(0)X(N/2-1)的值即可。,2023/8/8,3)当x1(n)和x2(n)都是N点实序列时,构造新序列:则:,因此,通过一
12、次N点DFT运算完成了两个N点序列的DFT计算。,2023/8/8,4、DFT形式下的帕塞瓦定理,证明:,2023/8/8,当x(n)y(n),即序列x(n)在时域计算的能量与频域计算的能量相等。,2023/8/8,5、循环卷积,设 x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列,且:若:则:,循环卷积可看作延拓序列周期卷积后取主值区间而得,2023/8/8,2023/8/8,时域循环卷积过程:,1)补零2)周期延拓3)翻褶,取主值序列4)循环移位5)相乘相加,2023/8/8,图解,2023/8/8,2023/8/8,结果:,在圆周上的操作图示如下:,2023/8/8,线性卷积,翻转、移位、
13、相乘求和,6、有限长序列的线性卷积与循环卷积,2023/8/8,得到线性卷积结果的示意图,2023/8/8,N1=5,1)循环卷积:(N=7)不足的,补零加长2)其中一个序列周期延拓3)翻褶,取主值序列4)循环移位5)相乘相加,循环卷积,2023/8/8,2023/8/8,得到循环卷积的示意图,可见,线性卷积与循环卷积相同(当NN1(5)+N2(3)-1=7时),2023/8/8,N=5,2023/8/8,得到循环卷积的示意图,可见,线性卷积与循环卷积不同(当NN1(5)+N2(3)-1=7时),2023/8/8,总 结,2023/8/8,循环卷积,2023/8/8,循环卷积程序,x1=1,2
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