第六章定积分应用.ppt

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1、定积分应用,上一章，已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积分的分析方法。,重点,微元法，面积，旋转体的体积，定积分在经济分析中的应用，,微元法，参数方程确定的曲线所围的面积，定积分经济方面的应用。,基本要求,正确理解和掌握微元法的基本思想，并会灵活运用它。,会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。,会求旋转体的体积,(4)会用定积分解

2、决经济方面的实际问题。,难点,通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤是必要的。,定积分的微元法,求的步骤,分,用分点,将,区间分成n个小区间,粗,把在小区间上的局部量,用某个函数 f(x)在,的值与,之积代替,和,把局部量的近似值累加得到总量的近似值,即,设量非均匀地分布 a,b 上,由此可知，若某个非均匀量在区间a,b上满足两个条件：,（1）总

3、量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，,（2）局部量可用,近似表示,它们之间只相差一个,的高阶无穷小,不均匀量就可以用定积分来求得,精,分析其实质，不难将四步简化为两步,第一步“分割取近似”,含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间,在其上用均匀变化近似代替非均匀变化,求得局部量的近似值,它对应着积分表达式中的被积式,第二步“求和取极限”,含“和”、“精”两步:各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值,这是建立所求量的积分式的基本方法,即对被积式作积分,。求微元,写出典型小区间,上的局部量,的近似值,这就是局部量的微元,。求积分,即把微元,在区间

4、a,b 上,相当于把,作积分表达式,求它在 a,b 上的定积分,即,这就是微元法,“无限积累”起来,定积分的几何应用,一、平面图形的面积,1 直角坐标系,作为一般情况讨论，设平面图形由 a,b 上连续的两条曲线 y=f(x)与 y=g(x),及两条直线 x=a,x=b 所围成,在 a,b 上任取典型小区间 x,x+dx,与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA,dA 可用高为,底为 dx 的矩形面积,近似表示,即,故,a,b,当 dx 很小时,所围成的图形的面积,例1 求两曲线,例2 计算,所围图形的面积,求平面图形的面积一般分为几步？一般分为（1）画图,（2）选定积分变量并给出积分区间,（3

5、）确定被积函数并写出积分表达式,（4）计算定积分求得面积四个步骤,由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化,上述问题的一般情况是,平面区域由 c,d 上连续的曲线,及直线y=c,y=d 所围成,则其面积为,c,d,当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。,计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。,例3,求椭圆,的面积,2 极坐标系,某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的,若曲线由极坐标方程,给出,极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形,而是由射线,所围成的称为曲边扇形的区域,可

6、用半径为,圆心角为,由于曲边扇形的面积分布,及曲线,故面积元素为,的圆扇形的面积来近似,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,体 积,一、旋转体的体积,旋转体的体积为,所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积为,例1,求椭圆,所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积,类似地，由连续曲线,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,二、平行截面面积为已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,