一阶常微分方程.ppt

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1、解,一、问题的提出,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3:单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来

2、确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特解为,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),可分离变量的微分方程:,2.两边同时积分:,解,可简写为：,例,解,例,例.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,2.可化为分离变量的某些方程,(1).齐次方程 形如,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例 解微分方程,解

3、:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当 C=0 时,y=0 也是方程的解),(C 为任意常数),例,解,是齐次方程,例.解微分方程,分离变量，再两边积分,将u带回得,例.求方程 的通解,(3)形如,解,代入原方程得,分离变量、积分得,得原方程的通解,方程变为,3、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,齐次线性方程,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,3、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(2)的解；,4、方程(

4、2)的任意两个解之差是(1)的解.,线性方程解的性质,非齐次线性方程,那么方程(2)的通解为,那么方程(2)的通解为,对应齐次方程的通解,非齐次方程特解,的特解,线性方程解的叠加性质,和,的一个特解.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,使用分离变量法,形式求积：,形式求解的结果给了我们重要启示：若方程有解，其解必,先来观察，若（1）有解，其解形状如何？对方程作形式求解：将（1）改写成,上述解方程的方法，叫做常数变易法，用于求解线性非齐次方程。,将 y 和 代入（1）：,齐次方程通解,非齐次方程特解,即,解：,也可以直接代公式求解,例 用常数变易法求一阶线性方程通解,解

5、：若将方程写为,它显然不是线性方程，将方程改写作,解：因“”右端均为可导函数，故左端也可导，两边对x求导,伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),例 求方程 的通解,解：这是伯努力方程，其中,可降阶高阶微分方程,(1)型的微分方程,(2)型的微分方程,(3)型的微分方程,(1)、型的微分方程,令 则,两端积分得,则,再积分，得通解,例 求方程的通解,积分一次得,最后积分得,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,(2)、,例 求方程 满足初

6、始条件 的特解。,用 代替，得,积分得,代入初始条件,得,故特解是,(3)、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例.求解,故所求通解为,解:,原始可写为,两端积分得,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,（1）、恰当方程的定义及条件,如果方程,就可以马上写出它的隐式解,恰当方程和积分因子,定义1,则称微分方程,是恰当方程.,如,是恰当方程.,需考虑的问题,(1)方程(1)是否为恰当方程?,(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?,(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?,方程为恰当方程的充要条件,定理1,为恰当方程的充要条件是

7、,（2）恰当方程的求解：求全微分的原函数,不定积分法,解:,故所给方程是恰当方程.,即,积分后得:,故,从而方程的通解为,分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为:,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为:,故所求的初值问题的解为:,线积分法,由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:,从而(1)的通解为,例 求解方程,解:,故所给方程是恰当方程.,故通解为:,（2）积分因子,非恰当方程如何求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程.,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,则,是恰当方程.,可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,定义,例,解:,对方程有,由于,把以上方程重新“分项组合”得,即,也即,故所给方程的通解为:,积分因子的确定,即,尽管如此,方程,还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.,命题1，2,微分方程,变成,即,此时求得积分因子,例,解,