【教学课件】第四章线性方程组.ppt

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1、第四章 线性方程组,4.1 消元法4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法4.3 线性方程组的公式解4.4 结式和判别式,伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。克莱因（Klein F，18491925）,4.1 消元法,1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别2.教学目的:会用消元法解线性方程组3.重点难点:线性方程组的消元解法,前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：,在

2、实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.,（1）,例1 解线性方程组：,从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量,（2）,得到：,为了计算的方便，把第一个方程乘以-2 后，与第二个方程交换，得：,现在很容易求出方程组（2）的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三个方程，得,再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：,这样我们就求出方程组的解.,交换两个方程的位置；用一个不等于零的数某一个方程；用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.,4.1.1 线性方程组的初等变换,线性方程的初等变换：对方程组施行下面三种变换：,这三种变换叫

3、作线性方程组的初等变换.,定理 初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组,线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：,而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：,（3）,（4）,矩阵的初等变换,叫做一个s行t列（或st）的矩阵，,叫做这个矩阵的元素.,注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.,矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵.一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.,定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：,3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一

4、行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上.,1)交换矩阵的两行（列）,2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；,显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.,在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简.因此我们先来研究，

5、利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题.在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换.后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.,在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵,先化为,然后，进一步化为,定理 设A是一个m行n列的矩阵：,通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：,(5),进而化为以下形式，,（6）,乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为,若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，,那么B 已有（5）的形式.设B 的后m 1 行中有一个元素b 不为零，把b 换到第

6、二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为,如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.,形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是,显然的.只要把由第一，第二，第r 1 行分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二，第r 2行分别减去第r 1行的适当倍数，等等.,用消元法解线性方程组,考察方程组（1）的增广矩阵（4）.由定理，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）.对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：,(7),与（7）相当的线性方程组是,（8）,由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未

7、知量的位置而得到，所以由定理，方程组（8）与方程组（1）同解.因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）.但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出.,情形1，,情形2，,当r n 时，方程组（9）可以改写成,(10),叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的一般解.,例2 解线性方程组,这样，线性方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（7）看出.因此，我们完全可以就方程组（9）的增广矩阵来解这个方程组.,施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含的系数矩阵先化为（5），再化为（6）的形式.由第一和第二行分别减去第三行的5 倍和2 倍，然后把第三行换到第一行的位置，得,

8、解：对增广矩阵,由第二行减去第三行的2倍，得,虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是 0=5所以原方程无解.,例3 解线性方程组,解：这里的增广矩阵是,继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为,这个矩阵本质上已有（5）的形式，这一点只要交换矩阵的第二和第三两列就可以看出.进一步由第一行减去第二行的三倍，得出相当于（6）型的矩阵,把第一行的适当倍数加到其它各行，得,对应的线性方程组是,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,1.内容分布4.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩 阵的秩4.2.2 线性方程组可解的判别法2.教学目的:1)

9、理解矩阵秩的定义 2)会用初等变换求矩阵的秩 3)会用消元法解线性方程组3.重点难点:矩阵秩的定义 线性方程组的可解的判别法,4.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩,在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组：,(1),这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还有几个问题没解决。,简化为以下形式一个矩阵,（甲）利用初等变换把方程组（1）的系数矩阵,（2）,（3）,并且看到，在矩阵（3）中出现的整数r在讨论中占有重要的地位.但是我们对这个整数还没有什么了解.r 和系数矩阵（2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵（2）所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因为我们可以用不同的初等变

10、换，把系数矩阵（2）化为形如（3）的矩阵.,（乙）方程组（1）有解时，它的系数应该满足什么条件？,（丙）我们没有得出，用方程组的系数和常数项来表示解的公式，而解的公式在理论上有重要的意义.,矩阵的秩利用一个矩阵的元素可以构成一系列的行列式.,.位于这些行列交点处的元素（不改变元素相对的位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k阶子式.我们看一看，在矩阵（3）中出现的整数r和这个矩阵的子式之间有些什么关系.假定r0.这时，矩阵（3）含有一个r 阶的子式：,定义1 在一个s行t列的矩阵中，任取k行k列,定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式，就

11、认为这个矩阵的秩是零.按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数.一个矩阵A的秩用秩A来表示.显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零.,这个子式不等于零.但矩阵（3）不含阶数高于r的不等于零的子式.这是因为；在r=m 或r=n 时，矩阵（3）根本不含阶数高于r的子式；而当r m，r n 时，矩阵（3）的任何一个阶数高于r的了式都至少含有一个元素全为零的行，因而必然等于零.这样，r等于矩阵（3）中的不等于零的子式的最大阶数.,证明 我们先说明以下事实：若是对一个矩阵A施行某一行或列的初等变换而等到矩阵B，那么对B施行同一种初等变换又可以得到A.事

12、实上，若是交换A的第i行与第j行而得到B，那么交换B 的第i行与第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零的数a而得到B，那么将B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以数k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以 k加到第i行就得到A.列的初等变换的情形显然完全一样.现在我们就用第三种行初等变换来证明定理.,定理 初等变换不改变矩阵的秩.,并且A 的秩是r.我们证明，B 的秩也是r.先证明，B 的秩不超过r.设矩阵B 有s 阶子式D，而 s r.那么有三种可能的情形:D不含第i 行的元素，这时D也是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A的秩r，因此D=0.,设把一矩阵的第j 行乘以k

13、加到第i行而得到矩阵B：,因为后一行列式是矩阵A的一个s阶子式.,D含第i行的元素，也含第j行的元素.这时，由命题,这里,D含第i行的元素，但不含第j行的元素，这时,但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到矩阵A.因此，也有,因此，在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B 的任何这样的子式都等于零，而B的秩也不超过r.这样，在任何情形，都有,这样，我们也就证明了，秩A=秩B，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩.对于其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立.这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）.,4.2.2 线性方程组可解的判别法,定理（线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有

14、解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.,那么 的前n 列作成的矩阵 A 就是（1）的系数矩阵.利用定理4.1.2所指出的那种初等变换把 化为,并且用B表示 的前n列作成的矩阵.那么由定理4.2.1得：,（4）,故定理得证.,现在设线性方程组（1）有解.那么或者r=m，或者r m，而，这两种情形都有秩.于是由（4）得，.,反过来，设，那么由（4）得，的秩也是r，由此得，或者r=m，或者r m 而，因而方程组（1）有解.,定理 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当r 等于方程组所含的未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r n 时，方程组有无穷多解.,1.内容分布 4

15、.3.1 线性方程组的公式解 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件2.教学目的1)会用公式解法解线性方程组 2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件3.重点难点齐次线性方程组有非零解的充要条件,4.3 线性方程组的公式解,4.3.1 线性方程组的公式解,例1 考察线性方程组,(1),(2),考虑线性方程组,那么在这三个方程间有以下关系：,这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成的方程组,同解。,证 由于方程组（1）的系数矩阵A的秩是r，所以A至 少含有一个r阶子式。,现在我

16、们证明，方程组（1）的后 m-r 个方程中的每一个都是（1）的前r 个方程,(3),的结果.,亦即使,(4),而 的前r列作成（4）的系数矩阵B，我们要计算矩阵B和 的秩。注意，的列刚好是方程组（1）的增广矩阵 的某些行。这样，矩阵 的左上角的 r阶子,方程组（4）的增广矩阵是,式刚好是 子式D 的转置行列式，因而不等于零：,由于 也是矩阵B的子式，所以矩阵B和 的秩都至少是r，另一方面，矩阵 的任一个r+1阶子式 都是 的某一个r+1阶子式的转置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r+1阶子式都等于零，由此得 必然等于零。但 没有阶数高于r+1的子式，所以B和 的秩都是r，而方程组（4）有解

17、。这样我们就证明了，方程组（1）的后m-r个方程都是（1）的前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为解方程组（3）。,假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。,方程组（1）的公式解：,现在设,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式，在方程组（3）中把含未知量 的项移到右边，,方程组（3）可以写成：,(3),暂时假定 是数，那么（3）变成r 个未知量 的r 个方程。用克拉默规则解出 得,(5),这里,把（5）中的行列式展开，（5）可以写成,(6),这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧

18、把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量 的对应值，并且（1）的所有解都可以这样得到。,由于（6）的系数和常数项都可以由方程组（1）的系数和常数项表出，所以（6）或它的前身（5）都给出求方程组（1）的解的公式。,求解这个方程组的公式，并求出一个解。,即：,用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，因为需要计算许多行列式。因此在实际求线

19、性方程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种情况下，我们有时要用到（5）式或（6）式。,4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念,定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么这个方程组叫做一个齐次线性方程组.,我们来看一个齐次线性方程组,(8),这个方程组永远有解：显然,就是方程组（8）的一个解，这个解叫做零解。如果方程组（8）还有其它解，那么这些解就叫作非零解。,齐次线性方程组永远有解.,4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件,定理 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于

20、它的未知量的个数n。,证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解 外，必然还有非零解。,推论 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式等于零。,因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就是说，方程组的系数矩阵的秩小于n.,推论 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有解。因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩r不能超过m，因而一定小于n.,1.内容分布 结式与多项式的公根 多项式的判别式2.教学目的:了解多项式有公根的判别 了解多项式的判别式的定义3.重点难点:多项式有公根的

21、判别,4.4 结式和判别式,结式与多项式的公根,假设 在C 内有公根,依次用 乘第一个等式,用 乘第二个等式,我们得到以下 个等式:,这就表明,是一个含有 个未知量,个方程的齐次线性方程组的非零解,因此系数行列式:,必须等于零.,行列式D叫做多项式 的结式,并且用符号 来表示.结式 不但 有公根时等于零,而且当 时显然也等于零.于是就得到,定理 如果多项式,定理 设,(1),有公根,或者,那么它们的结式等于零.,是复数域C上多项式.是它们的结式.,(ii)如果,而 的全部根,那么,(2),证 我们对m 作数学归纳法来证明公式(1)。先看m=1的情形，这时,因此,假设当 时公式（1）成立。我们看

22、 的情形，这时,令 的全部根。那么,这里 是一个k次多项式，它的根是 比较 的系数，我们有,因此,把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，最后,把第n+k列乘以 加到第n+k+1列上，并且注到,我们得到,把这个行列式依最后一列展开，我们有,再依次把第n+2行乘以 加到第n+1行，把第n+3行乘以 加到第n+2行，最后，把第n+k+1行乘以 加到第n+k行，于是,这里 是位于最后的行列式左上角的n+k阶行列式，它恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设，,于是,公式（1）被证明。,容易看出，通过适当对调行列式D的行，可以得到,（3）,因此，如果 而 是 的全部根，那么

23、由（1）可得（2）。,定理4.4.3 如果多项式 的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个多项式有公根。,证 设，如果，那么由（1），一定有某一，从而 是 的一个公根，如果 那么由（2）也可以推出 有公根。,如果，同样的计算也可以得到上面的等式。当 时，上面的展开式的右端等于零，不论在任何情形，上面的展开式都成立。,现在利用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题。,设 是两个复系数二元多项式，我们按x的降幂写出这两个多项式：,把 分别看成f 中 和g中 的系数，然后求出f 和g 的结式，记作，是y 的一个多项式：,如果多项式 有公共零点，那么以 代替 中的文字y，所得到的一

24、元多项式 有公根，由定理4.4.1，它们的结式，这就是说，是多项式 的一个根。反过来，如果结式 有根，那么以 代替多项式 中的文字y，我们得到x 的多项式,的结式，因而由定理4.4.3，或者 或者 有公根。这样，求两个未知量两个方程,的公共解可以归结为求一个未知量的一个方程,的根，也就是说，可以用从两个方程中消去一个未知量，所以这个过程通常叫做未知量的消去法。,求出f 与g 的结式,这两个多项式有公根，所以 是方程组（4）的一个解，另一方面，以 代替y，所得的多项式有公根，所以 也是方程组（4）的一个解，因此，方程组（4）有两个解：,;,；,多项式的判别式,最后，我们介绍一下多项式的判别式的概

25、念，并且指出判别式与结式之间的关系。设,是复数域C上一个n（n1）次多项式，令 的全部根（重根按重数计算）。乘积,叫做多项式 的判别式（这里表示求积的符号）。,由定理2.5.2容易推出，多项式 有重根必要且只要 与它的导数 有公根，因为，所以由定理4.4.1和4.4.3，有重根必要且只要 与 的结式，由此可见，的判别式与结式 之间有密切的关系，下面我们将导出这个关系，根据定理4.4.2，公式（1），我们有,在Cx里，,求导数，我们有,所以,这样，,在这个乘积里，对于任意i 和j（ij）都出现两个因式：和，它们的乘积等于，由于满足条件 的指标i 和j 一共有 对，所以,D是多项式 的判别式,从表示 的行列式的第一列显然可以提出因子，因此多项式 的判别式D可以表成由系数 所组成的一个行列式，因而是 的多项式。,于是,所以判别式是,例3 求二次多项式 的判别式。,