【教学课件】第四章数值积分与数值微分.ppt

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1、第四章 数值积分与数值微分,4.1 引言4.2 牛顿柯特斯公式4.3 复化求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 高斯求积公式4.6 数值微分,4.1 引言,本章讨论问题：1)计算定积分 的数值方法，这里，。2)利用函数值的线性组合,计算函数 在某点的导数的近似值。数值积分的意义 当 为连续函数时，积分一定存在。但具体计算时由于 的原函数不易求得或根本找不到初等形式的原函数；或者 只是由测量或计算给出的一张数据表。不能应用Newton-Leibniz公式。因此研究数值积分。,4.1 引言,求积的基本思路 由积分中值定理，我们得到：存在一个底为 而高为 的矩形，其面积恰等于所求的定积分。我们称 为

2、 在区间 的平均高度。这样，只要对平均高度 提供一种算法，就得到一种数值积分的方法。数值积分的意义 当 为连续函数时，积分一定存在。但具体计算时由于 的原函数不易求得或根本找不到初等形式的原函数；或者 只是由测量或计算给出的一张数据表。不能应用Newton-Leibniz公式。因此研究数值积分。,4.1 引言,求积的基本思路 由积分中值定理 我们得到：存在一个底为 而高为 的矩形，其面积恰等于所求的定积分。我们称 为 在区间 的平均高度。这样，只要对平均高度 提供一种算法，就得到一种数值积分的方法。梯形公式、矩形公式 用两个端点的函数值 和 的算术平均值作为 的近似，就是梯形公式：用区间中点的

3、函数值 作为 的近似，就的所谓中矩形公式。,4.1 引言,相关概念求积节点、求积系数 在区间 上适当选取某些节点，用 加权平均得到 的近似值，这样得到如下形式的公式：，其中 称为求积节点；称为求积系数，亦称为伴随节点 的权。梯形公式、矩形公式 用两个端点的函数值 和 的算术平均值作为 的近似，就是梯形公式：用区间中点的函数值 作为 的近似，就的所谓中矩形公式。,4.1 引言,相关概念求积节点、求积系数 在区间 上适当选取某些节点，用 加权平均得到 的近似值，这样得到如下形式的公式：，其中 称为求积节点；称为求积系数，亦称为伴随节点 的权。本方法为机械求积。将求积分归结为计算函数值。相关概念代数

4、精度 定义：如果 对所有次数 的多项式 准确成立，而对某一次数为 的多项式不准确成立，则称此近似公式具有 次代数精度。,4.1 引言,设，则计算 的梯形公式和矩形公式分别为：，我们选择几个初等函数计算，结果如下：本方法为机械求积。将求积分归结为计算函数值。相关概念代数精度 定义：如果 对所有次数 的多项式 准确成立，而对某一次数为 的多项式不准确成立，则称此近似公式具有 次代数精度。,4.1 引言,设，则计算 的梯形公式和矩形公式分别为：，我们选择几个初等函数计算，结果如下：梯形公式和矩形公式对1，x是精确成立的，从而对所有的次数 的多项式 精确成立。,4.1 引言,代数精度的确定欲使求积公式

5、 具有 次代数精度，只要令它对于 都能准确成立，即将这些函数代入，有 即有下式成立：梯形公式和矩形公式对1，x是精确成立的，从而对所有的次数 的多项式 精确成立。,4.1 引言,代数精度的确定欲使求积公式 具有 次代数精度，只要令它对于 都能准确成立，即将这些函数代入，有 即有下式成立：构造求积公式，是一个确定参数 和 的代数问题。,4.1 引言,插值型的求积公式 设给定一组节点，且已知函数 在这些节点上的值，作插值多项式，由于 的原函数容易求出，我们取 作为所求积分的近似值，这样求出的求积公式称为插值型的。构造求积公式，是一个确定参数 和 的代数问题。,4.1 引言,插值型的求积公式 设给定

6、一组节点，且已知函数 在这些节点上的值，作插值多项式，由于 的原函数容易求出，我们取 作为所求积分的近似值，这样求出的求积公式称为插值型的。插值型求积公式的系数 插值型求积公式 中的求积系数 通过基函数 求积得出,4.1 引言,插值型的求积公式的余项 由插值余项定理得插值型求积公式的余项为式中 与变量 有关，按此余项公式，对于次数不超过 的多项式，余项 等于零，至少具有 次代数精度。插值型求积公式的系数 插值型求积公式 中的求积系数 通过基函数 求积得出,4.1 引言,插值型的求积公式的余项 由插值余项定理得插值型求积公式的余项为式中 与变量 有关，按此余项公式，对于次数不超过 的多项式，余项

7、 等于零，至少具有 次代数精度。反之，若求积公式至少具有 次代数精度，则必定是插值型的。这是因为此时有 综上所述，我们得到结论：定理1 求积公式 有 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。,4.1 引言,求积公式的收敛性 定义2 在求积公式 中，若其中，则称该求积公式是收敛的。反之，若求积公式至少具有 次代数精度，则必定是插值型的。这是因为此时有 综上所述，我们得到结论：定理1 求积公式 有 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。,4.1 引言,求积公式的收敛性 定义2 在求积公式 中，若其中，则称该求积公式是收敛的。求积公式的稳定性 定义3 对任给，若，只要 就有，则称该求积公式是稳定的。其

8、中 是理论值 和实际值 的误差的最大值。,4.1 引言,定理2 若求积公式中的系，则此求积公式是稳定的。证明：对任给，若取，对 都有，则有求积公式的稳定性 定义3 对任给，若，只要 就有，则称该求积公式是稳定的。其中 是理论值 和实际值 的误差的最大值。,4.1 引言,定理2 若求积公式中的系，则此求积公式是稳定的。证明：对任给，若取，对 都有，则有故求积公式稳定。结论：，计算稳定。,Cotes 系数 设将积分区间 划分为 等分，步长，选取等距节点 构造出的插值型求积公式 称为Newton-Cotes公式，式中 称为Cotes系数。故求积公式稳定。结论：，计算稳定。,4.2 Newton-Co

9、tes公式,Cotes 系数 设将积分区间 划分为 等分，步长，选取等距节点 构造出的插值型求积公式 称为Newton-Cotes公式，式中 称为Cotes系数。Cotes 系数的计算 根据求积公式：引入变换，得到 由于被积函数是多项式，因此可以积分。,4.2 Newton-Cotes公式,Cotes 系数的具体计算 当 时，此时的求积公式就是我们讨论过的梯形公式。Cotes 系数的计算 根据求积公式：引入变换，得到 由于被积函数是多项式，因此可以积分。,4.2 Newton-Cotes公式,Cotes 系数的具体计算 当 时，此时的求积公式就是我们讨论过的梯形公式。当 时，Cotes系数为

10、此时的求积公式就是下列的simpson公式。,4.2 Newton-Cotes公式,当 时，Newton-Cotes公式称为Cotes公式，其形式为：这里，。下表是Cotes系数的开头部分当 时，Cotes系数为 此时的求积公式就是下列的simpson公式。,4.2 Newton-Cotes公式,4.2 Newton-Cotes公式,当 时，Newton-Cotes系数出现负值，于是有：,特别地，假定，且，则有：此公式表明，当 时，计算不稳定。偶数阶求积公式的代数精度 阶Newton-Cotes公式至少为，可否？对于Simpson公式，我们用 进行验证，发现公式精确成立，再用 进行验证时，发现

11、不精确成立，因此Simpson公式具有3次代数精度，一般可得：,4.2 Newton-Cotes公式,定理3：当阶 为偶数时，Newton-Cotes公式至少有 次代数精度。只需验证，当 为偶数时，N-C公式对 的余项为零。按余项公式，由于，从而有，引入变换，并注意到偶数阶求积公式的代数精度 阶Newton-Cotes公式至少为，可否？对于Simpson公式，我们用 进行验证，发现公式精确成立，再用 进行验证时，发现不精确成立，因此Simpson公式具有3次代数精度，一般可得：,4.2 Newton-Cotes公式,定理3：当阶 为偶数时，Newton-Cotes公式至少有 次代数精度。只需验

12、证，当 为偶数时，N-C公式对 的余项为零。按余项公式，由于，从而有，引入变换，并注意到，我们得到 若 为偶数，则 为整数，再令，进一步有，据此即可断定，这是因为被积函数 是奇函数。证毕,4.2 Newton-Cotes公式,几种低阶求积公式的余项梯形公式的余项：因为 在区间 保号，由积分中值定理可得：使得，我们得到 若 为偶数，则 为整数，再令，进一步有，据此即可断定，这是因为被积函数 是奇函数。证毕,4.2 Newton-Cotes公式,几种低阶求积公式的余项梯形公式的余项：因为 在区间 保号，由积分中值定理可得：使得Simpson公式的余项：因为 在区间 保号，由积分中值定理可得：使得我

13、们可以找到 使,4.2 Newton-Cotes公式,关于柯特斯公式的余项，我们仅列出结果如下：Simpson公式的余项：因为 在区间 保号，由积分中值定理可得：使得我们可以找到 使,4.2 Newton-Cotes公式,关于柯特斯公式的余项，我们仅列出结果如下：,4.3 复化求积公式,前面已经指出高阶牛顿柯特斯公式是不稳的，因此，为了提高精度采用将区间分为小区间，每个小区间分别积分的方法，即采用所谓复化求积方法。本节讨论复化梯形和复化辛普森公式。1.复化梯形公式 把区间 划分为 等分，分点，采用梯形公式，得到：记：称为复化梯形公式。,4.3 复化求积公式,其余项为：由于，且所以，使，于是复化

14、梯形公式余项为：，可以看出误差是 阶，把区间 划分为 等分，分点，采用梯形公式，得到：记：称为复化梯形公式。,4.3 复化求积公式,其余项为：由于，且所以，使，于是复化梯形公式余项为：，可以看出误差是 阶，且由上式得到，当 时，有即复化梯形公式收敛。事实上 即有收敛性，因为只要把 改写为：，当 时，括号内两项均收敛到，故收敛。因为所有系数0，故公式稳定。,4.3 复化求积公式,2.复化辛普森求积公式 把区间 划分为 等分，在每个子区间 采用辛普森公式，若记，则得：且由上式得到，当 时，有即复化梯形公式收敛。事实上 即有收敛性，因为只要把 改写为：，当 时，括号内两项均收敛到，故收敛。因为所有系

15、数0，故公式稳定。,4.3 复化求积公式,复化辛普森求积公式 把区间 划分为 等分，在每个子区间 采用辛普森公式，若记，则得：记：称为复化辛普森求积公式。其余项为：,4.3 复化求积公式,于是当 时，与复化梯形公式相似有：可以看出，误差阶为，显然收敛，实际上，只要 就可得到收敛，即：此外，由于 中的系数均为正数，故稳定。记：称为复化辛普森求积公式。其余项为：,4.3 复化求积公式,例：用复化辛普森公式(n=10)计算,4.3 复化求积公式,例：利用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分，并估计误差。解：将积分区间0,1划分为8等分，应用复化梯形公式求得：，应用复化辛普森公式求得：这两个结果都利用

16、了9个点的数据，但精度却不一样，前者2位有效数字，后者6位。为估计余项，要求 的高阶导数，由于，所以有于是,4.3 复化求积公式,从而得到：度却不一样，前者2位有效数字，后者6位。为估计余项，要求 的高阶导数，由于，所以有于是,4.4 龙贝格求积公式,复合梯形公式的递推化 上节介绍的复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次减半。设将区间 分为 等分，共有 个分点，此时的计算公式为：如果将求积区间再二分一次，则分点增加到 个，此时，计算公式为：我们将前后公式联系起来，得到递推公式如下,4.4 龙贝格求积公式,例：计算积分。解：先对整个区间0,1使用梯形公式，对于函数 先补充定

17、义，而，据梯形公式算得：此时，计算公式为：我们将前后公式联系起来，得到递推公式如下,4.4 龙贝格求积公式,例：计算积分。解：先对整个区间0,1使用梯形公式，对于函数 先补充定义，而，据梯形公式算得：继续二分，求出中点的函数值，利用递推公式得到：将区间再次对分，计算新分点的函数值，利用递推公式得到：,4.4 龙贝格求积公式,继续二分，得到下表：7位有效数字，二分10次。分点个数为1025个，计算量大。继续二分，求出中点的函数值，利用递推公式得到：将区间再次对分，计算新分点的函数值，利用递推公式得到：,4.4 龙贝格求积公式,继续二分，得到下表：7位有效数字，二分10次。分点个数为1025个，计

18、算量大。龙贝格算法 梯形法：简单、慢，本节讨论如何提高速度 根据复化梯形公式的余项，可知假定，则有，整理可得，此式表明 的误差大致为,4.4 龙贝格求积公式,因此如果用这个误差作为 的补偿，可以得到更好的结果，这就是公式：把这个方法用于前面的例子，我们得到：，它有6为有效数字。进一步分析可得，梯形法前后两个积龙贝格算法 梯形法：简单、慢，本节讨论如何提高速度 根据复化梯形公式的余项，可知假定，则有，整理可得，此式表明 的误差大致为,4.4 龙贝格求积公式,因此如果用这个误差作为 的补偿，可以得到更好的结果，这就是公式：把这个方法用于前面的例子，我们得到：，它有6为有效数字。进一步分析可得，梯形

19、法前后两个积分值，通过线性组合即得到了辛普生方法的积分值。受此方法方法的启发，我们对辛普生公式使用该法，得到，整理得，可以验证，上式右端等于复化Cotes公式的结果，它的精度是，这就是说，用两个精度为 的公式，通过线性组合，得到了一个精度为 的公式；,4.4 龙贝格求积公式,重复上面的方法，可以得到精度更高的龙贝格公式：这种公式，即龙贝格算法，我们称之为加速公式。例：用加速公式对梯形公式的数据加以处理，得到更好的结果。分值，通过线性组合即得到了辛普生方法的积分值。受此方法方法的启发，我们对辛普生公式使用该法，得到，整理得，可以验证，上式右端等于复化Cotes公式的结果，它的精度是，这就是说，用

20、两个精度为 的公式，通过线性组合，得到了一个精度为 的公式；,4.4 龙贝格求积公式,重复上面的方法，可以得到精度更高的龙贝格公式：这种公式，即龙贝格算法，我们称之为加速公式。例：用加速公式对梯形公式的数据加以处理，得到更好的结果。解：原始数据和加速过程列表如下：,4.4 龙贝格求积公式,可以看到，这里利用二分三次的数据，计算了9个值，通过三次加速，得到了7位有效数字，可见效率非常高。理查森外推加速法解：原始数据和加速过程列表如下：,4.4 龙贝格求积公式,可以看到，这里利用二分三次的数据，计算了9个值，通过三次加速，得到了7位有效数字，可见效率非常高。理查森外推加速法 将上面的加速过程一般化

21、，其理论依据是梯形公式的余项展开，设若记，当区间 分为 等分时，有并有：,4.4 龙贝格求积公式,定理4：设，则有（1）其中系数 与 无关。此定理可以利用 的泰勒展开式得到，此处略。定理4表示：是 阶，在 的表达式中 将上面的加速过程一般化，其理论依据是梯形公式的余项展开，设若记，当区间 分为 等分时，有并有：,4.4 龙贝格求积公式,定理4：设，则有（1）其中系数 与 无关。此定理可以利用 的泰勒展开式得到，此处略。定理4表示：是 阶，在 的表达式中用 代替，得到（2）用4乘（2）式减去（1）式再除以3，记为，（3）这里的 与 无关，与 的近似阶为。,4.4 龙贝格求积公式,与公式 比较，我

22、们知道（3）所生成的序列 就是辛普生公式序列。由（3）式，我们得到：若令用 代替，得到（2）用4乘（2）式减去（1）式再除以3，记为，（3）这里的 与 无关，与 的近似阶为。,4.4 龙贝格求积公式,与公式 比较，我们知道（3）所生成的序列 就是辛普生公式序列。由（3）式，我们得到：若令则又可进一步从余项展开式中消去 项，而有这样构造出的，其实就是Cotes公式序列，它与积分值 的逼近阶为。如此加速一次，提高2阶。,4.4 龙贝格求积公式,一般地，若记，则有：（4）经过 次加速后，余项便取下列形式：上述处理方法通常称为理查森外推加速方法。则又可进一步从余项展开式中消去 项，而有这样构造出的，其

23、实就是Cotes公式序列，它与积分值 的逼近阶为。如此加速一次，提高2阶。,4.4 龙贝格求积公式,一般地，若记，则有：（4）经过 次加速后，余项便取下列形式：上述处理方法通常称为理查森外推加速方法。设以 表示二分 次后求得的梯形值，且以 表示序列 的 次加速值，则依递推公式(4)可得：上式也称为龙贝格求积算法，计算过程如下：,4.4 龙贝格求积公式,龙贝格算法：（1）令 求 令，（为区间 的二分次数。）（2）求梯形值，计算用递推公式来实现（3）用下式逐个求加速值，设以 表示二分 次后求得的梯形值，且以 表示序列 的 次加速值，则依递推公式(4)可得：上式也称为龙贝格求积算法，计算过程如下：,

24、4.4 龙贝格求积公式,龙贝格算法：（1）令 求 令，（为区间 的二分次数。）（2）求梯形值，计算用递推公式来实现（3）用下式逐个求加速值，（4）若，则计算结束，并取，否则令 转（2）继续计算。我们把计算过程列表如下：,4.4 龙贝格求积公式,龙贝格算法的计算过程,4.4 龙贝格求积公式,可以证明，在一定的条件下，本算法收敛，即有：及例：用龙贝格算法计算积分。解：结果见下表，这里被积函数仅一次可微，的精度与辛普生求积相当。精确值为0.4。,4.5 高斯求积公式,一般理论 求积公式 中含有 个待定参数，当 为等距节点时得到的插值型求积公式的代数精度至少为 次，如果适当选取节点，则有可能得到具有

25、次代数精度的公式，这类求积公式称为高斯求积公式，为使问题更具一般性，我们研究带权积分，其求积公式为可选择适当的求积节点 及求积系数 使得该求积公式具有 次代数精度。定义：使求积公式的代数精度达到 次的节点 称为高斯点，相应的公式称为高斯公式。,4.5 高斯求积公式,高斯公式的求解 根据定义，要使求积公式具有 次代数精度，只要取，对，使得求积公式精确成立，则得到：求积公式，为使问题更具一般性，我们研究带权积分，其求积公式为可选择适当的求积节点 及求积系数 使得该求积公式具有 次代数精度。定义：使求积公式的代数精度达到 次的节点 称为高斯点，相应的公式称为高斯公式。,4.5 高斯求积公式,高斯公式

26、的求解 根据定义，要使求积公式具有 次代数精度，只要取，对，使得求积公式精确成立，则得到：当给定权函数，求出右端积分，则可解得 和，。例：试构造下列积分的高斯求积公式解：令公式对 准确成立，得到：,4.5 高斯求积公式,当给定权函数，求出右端积分，则可解得 和，。例：试构造下列积分的高斯求积公式解：令公式对 准确成立，得到：,4.5 高斯求积公式,可以解得：于是得到高斯公式为：,4.5 高斯求积公式,定理5 插值型求积公式的节点 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，即证明：必要性：设，则，因可以解得：于是得到高斯公式为：,4.5 高斯求积公式

27、,定理5 插值型求积公式的节点 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，即证明：必要性：设，则，因此，如果 是高斯点，则求积公式对于 精确成立，即有因，故,4.5 高斯求积公式,充分性：对于，用 除，记商为，余式为，即，其中，由 可得由于所给求积公式是插值型的，它对于 是精确此，如果 是高斯点，则求积公式对于 精确成立，即有因，故,4.5 高斯求积公式,充分性：对于，用 除，记商为，余式为，即，其中，由 可得由于所给求积公式是插值型的，它对于 是精确的，即再注意到，知，从而有，可见求积公式对一切次数不超过 的多项式精确成立，因此 为高斯点。证毕。

28、,4.5 高斯求积公式,定理5表明在 上带权 的 次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点，有了求积节点，求解求积系数的方程就变为 个变量的方程组，问题得到了简化。下面讨论高斯求积公式的余项，利用 在节点的，即再注意到，知，从而有，可见求积公式对一切次数不超过 的多项式精确成立，因此 为高斯点。证毕。,4.5 高斯求积公式,定理5表明在 上带权 的 次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点，有了求积节点，求解求积系数的方程就变为 个变量的方程组，问题得到了简化。下面讨论高斯求积公式的余项，利用 在节点 的爱尔米特插值多项式，即于是两端乘，并有 到 积分，得到：,4.5 高斯求积公式,其中右端第一项

29、积分对 次多项式精确成立，故由于，故由积分中值定理得到求积公式的余项为：的爱尔米特插值多项式，即于是两端乘，并有 到 积分，得到：,4.5 高斯求积公式,其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故由于，故由积分中值定理得到求积公式的余项为：下面讨论高斯求积公式的稳定性与收敛性。定理6 高斯求积公式的求积系数证明：考虑它是 次多项式，因而 是 次多项式，故高斯求积公式对该式准确成立，即有：,4.5 高斯求积公式,注意到，上式右端就是，从而有 证毕。推论 高斯求积公式是稳定。定理7 设，则高斯求积公式收敛，即下面讨论高斯求积公式的稳定性与收敛性。定理6 高斯求积公式的求积系数证明：考虑它是 次多项

30、式，因而 是 次多项式，故高斯求积公式对该式准确成立，即有：,4.5 高斯求积公式,注意到，上式右端就是，从而有 证毕。推论 高斯求积公式是稳定。定理7 设，则高斯求积公式收敛，即高斯勒让德求积公式 在高斯公式中，取权函数，区间为，则得公式。我们知道勒让德多项式是 上的正交多项式，因此勒让德多项式 的零点就是上面的求积公式的零点。称为高斯勒让德公式,4.5 高斯求积公式,高斯勒让德公式的例 取 的零点 为节点构造求积公式令它对 准确成立，即可定出。这样构造出的一点高斯勒让德公式就是中矩形公式。再取 的两个零点 和 为节点高斯勒让德求积公式 在高斯公式中，取权函数，区间为，则得公式。我们知道勒让

31、德多项式是 上的正交多项式，因此勒让德多项式 的零点就是上面的求积公式的零点。称为高斯勒让德公式,4.5 高斯求积公式,高斯勒让德公式的例 取 的零点 为节点构造求积公式令它对 准确成立，即可定出。这样构造出的一点高斯勒让德公式就是中矩形公式。再取 的两个零点 和 为节点构造求积公式令它对 准确成立，可得即可定出。从而得到二点高斯勒让德公式,4.5 高斯求积公式,三点高斯勒让德公式是：下表列出了高斯勒让德公式的节点和系数：构造求积公式令它对 准确成立，可得即可定出。从而得到二点高斯勒让德公式,4.5 高斯求积公式,三点高斯勒让德公式是：下表列出了高斯勒让德公式的节点和系数：,4.5 高斯求积公

32、式,高斯勒让德公式的余项为：这里 是最高次系数为1的勒让德多项式，由前面关于勒让德多项式的讨论可得：当 时，有：，它比辛普森公式的余项要小，且比辛普森公式少算一个函数值。当积分区间为一般的 时，引进变换可将积分化为,4.5 高斯求积公式,例6 用4点高斯勒让德求积公式计算解：先将区间化为，此时积分成为：根据系数表中的系数可得：当 时，有：，它比辛普森公式的余项要小，且比辛普森公式少算一个函数值。当积分区间为一般的 时，引进变换可将积分化为,4.5 高斯求积公式,例6 用4点高斯勒让德求积公式计算解：先将区间化为，此时积分成为：根据系数表中的系数可得：高斯切比雪夫求积公式 若，且取权函数，则所建

33、立的高斯公式为：特别地称为高斯切比雪夫求积公式。由于区间上关于函数 的正交多项式是切比雪夫多项式。,4.5 高斯求积公式,高斯切比雪夫求积公式的高斯点是 次切比雪夫多项式的零点，即为：通过计算可得求积公式的系数为，使用时将 个节点公式改为 个节点，于是高斯切比雪夫求积公式改写为：高斯切比雪夫求积公式 若，且取权函数，则所建立的高斯公式为：特别地称为高斯切比雪夫求积公式。由于区间上关于函数 的正交多项式是切比雪夫多项式。,4.5 高斯求积公式,高斯切比雪夫求积公式的高斯点是 次切比雪夫多项式的零点，即为：通过计算可得求积公式的系数为，使用时将 个节点公式改为 个节点，于是高斯切比雪夫求积公式改写

34、为：公式余项为：带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分。例7：用5点的高斯切比雪夫求积公式计算积分,4.5 高斯求积公式,解：这里 当 时有：由余项可得估计误差：公式余项为：带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分。例7：用5点的高斯切比雪夫求积公式计算积分,4.6 数值微分,数值微分的中点方法与误差分析 数值微分就是利用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值，按导数定义得到：其中 为一增量，称为步长，后一种称为中点方法。前两个公式的误差是 而后一个公式的误差是 要利用这些公式计算导数的近似值，首先要选取合适的步长，是否越少越好？我们以中点公式为例来进行误差分析，设，我们将在 处做泰勒展开，得到：,

35、4.6 数值微分,代入 的表达式可得：由此可知，从截断误差的角度来看，步长越小，计算结果越准确，且有：要利用这些公式计算导数的近似值，首先要选取合适的步长，是否越少越好？我们以中点公式为例来进行误差分析，设，我们将在 处做泰勒展开，得到：,4.6 数值微分,代入 的表达式可得：由此可知，从截断误差的角度来看，步长越小，计算结果越准确，且有：其中 再考虑舍入误差，按中点公式计算，当 很小时，因 与 很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，因此从舍入误差看，步长不宜太小。例如，设 求 处的一阶导数,4.6 数值微分,取4位数字计算。结果如下表：准确值为0.353553从表中可以看出，的逼近效果最

36、好。这是因为当 及 分别有舍入误差 及，令，其中 再考虑舍入误差，按中点公式计算，当 很小时，因 与 很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，因此从舍入误差看，步长不宜太小。例如，设 求 处的一阶导数,4.6 数值微分,取4位数字计算。结果如下表：准确值为0.353553从表中可以看出，的逼近效果最好。这是因为当 及 分别有舍入误差 及，令，则计算 的舍入误差上界为：该式表示，越小则舍入误差 越大，结合两种情况我们可以计算出误差的上界为：由此可得出最优步长为：,4.6 数值微分,插值型的求导公式 对于列表函数运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似，从而用 的值作为 的值，这样的公式称

37、为插值型求导公式。即。则计算 的舍入误差上界为：该式表示，越小则舍入误差 越大，结合两种情况我们可以计算出误差的上界为：由此可得出最优步长为：,4.6 数值微分,插值型的求积公式 对于列表函数运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似，从而用 的值作为 的值，这样的公式称为插值型求导公式。即。在使用插值型求导公式时要特别注意误差分析，因为仅有函数值插值的情况下，导数值可能有较大的误差。依据插值余项定理，插值型求导公式的余项为：式中,4.6 数值微分,在这一余项公式中，由于 是 的未知数，我们无法对它的第二项作出进一步的说明，因此随意给出的点，误差 是无法预估的，但是，如果我们限定求某个节点

38、 上的导数值，那么上面的第二项为零，这时有余项公式：在使用插值型求导公式时要特别注意误差分析，因为仅有函数值插值的情况下，导数值可能有较大的误差。依据插值余项定理，插值型求导公式的余项为：式中,4.6 数值微分,在这一余项公式中，由于 是 的未知数，我们无法对它的第二项作出进一步的说明，因此随意给出的点，误差 是无法预估的，但是，如果我们限定求某个节点 上的导数值，那么上面的第二项为零，这时有余项公式：下面我们仅仅考察节点处的导数值，为简化讨论，假定所给的节点是等距的。两点公式 设 已知，插值得两边求导，记，得到于是有下列求导公式,4.6 数值微分,利用余项公式可知，带余项的两点公式是：三点公

39、式 已知三个节点上的函数值，做二次插值，得到：下面我们仅仅考察节点处的导数值，为简化讨论，假定所给的节点是等距的。两点公式 设 已知，插值得两边求导，记，得到于是有下列求导公式,4.6 数值微分,利用余项公式可知，带余项的两点公式是：三点公式 已知三个节点上的函数值，做二次插值，得到：令，上式称为：两端对 求导，得到：分别取 得到三种三点公式：,4.6 数值微分,带余项的三点求导公式如下：令，上式称为：两端对 求导，得到：分别取 得到三种三点公式：,4.6 数值微分,带余项的三点求导公式如下：其中 就是我们熟悉的中点公式，由于它只用了两个函数值而引人注目。,4.6 数值微分,高阶数值微分公式

40、利用插值多项式还可建立高阶导数的近似公式：例如对 的表达式再对 求导一次，有其中 就是我们熟悉的中点公式，由于它只用了两个函数值而引人注目。,4.6 数值微分,高阶数值微分公式 利用插值多项式还可建立高阶导数的近似公式：例如对 的表达式再对 求导一次，有于是有而带余项的二阶三点公式如下：,4.6 数值微分,利用数值积分求导 设 是一个充分光滑的函数，设则有：(*)对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的于是有而带余项的二阶三点公式如下：,4.6 数值微分,利用数值积分求导 设 是一个充分光滑的函数，设则有：(*)对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式。例如对 用中矩形

41、公式，则得到：从而得到中点微分公式 若对(*)右端积分用辛普森求积公式，则有,4.6 数值微分,在上式中略去余项，并记 的近似值为，则得到辛普森数值微分公式这是关于 这 个未知量的 个方程组。若 已知，则可得数值微分公式。例如对 用中矩形公式，则得到：从而得到中点微分公式 若对(*)右端积分用辛普森求积公式，则有,4.6 数值微分,在上式中略去余项，并记 的近似值为，则得到辛普森数值微分公式这是关于 这 个未知量的 个方程组。若 已知，则可得这是一个三对角方程，且系数矩阵为严格对角占优的，故可用追赶法求解。,4.6 数值微分,如果端点的导数值不知道，则可用其它方法来求。例8：给定 的一张数据表

42、，并给定 及 的值，利用辛普森数值微分公式求 在 上的一阶导数。这是一个三对角方程，且系数矩阵为严格对角占优的，故可用追赶法求解。,4.6 数值微分,如果端点的导数值不知道，则可用其它方法来求。例8：给定 的一张数据表，并给定 及 的值，利用辛普森数值微分公式求 在 上的一阶导数。解：由数据可得：原始数据和计算结果见下页。,4.6 数值微分,解：由数据可得：原始数据和计算结果见下页。,4.6 数值微分,三次样条求导 利用前面的三次样条插值，也可以用来求导数，并能得到较好的结果，我们已经有：因此直接可以得到,4.6 数值微分,从而可得：这里 为一阶均差，其误差为：三次样条求导 利用前面的三次样条

43、插值，也可以用来求导数，并能得到较好的结果，我们已经有：因此直接可以得到,4.6 数值微分,从而可得：这里 为一阶均差，其误差为：数值微分的外推算法 利用中点公式计算导数值时，我们有公式：对 在点 做泰勒级数展开有：其中 与 无关，利用理查森外推对 逐次分,4.6 数值微分,半，若记，则有：上式的计算过程如下：数值微分的外推算法 利用中点公式计算导数值时，我们有公式：对 在点 做泰勒级数展开有：其中 与 无关，利用理查森外推对 逐次分,4.6 数值微分,半，若记，则有：上式的计算过程如下：,4.6 数值微分,计算误差为：可以看出，较大时，计算是很精确的。考虑到舍入误差，一般 不能取太大。例9 用外推法计算 在 的导数。,4.6 数值微分,计算误差为：可以看出，较大时，计算是很精确的。考虑到舍入误差，一般 不能取太大。例9 用外推法计算 在 的导数。解：令：当 时，由外推法计算表可算得：的精确值为，可见当 时用中点微分公式只有3位有效数字，外推一次为5位，外推两次达到9位有效数字。,