【教学课件】第十节多元多项式.ppt

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1、第十节 多元多项式,在前面我们讨论了一元多项式的基本性质.但是除去一元多项式外，还有含有多个文字的多项式，即多元多项式，如,等.,现在我们就来简单地介绍一下有关多元多项式的一些概念.,返回,设P是一个数域，x1,x2,xn 是 n 个文字.形式为,如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么这两个单项式就称为同类项.,返回,的式子，其中a 属于P，k1,k2,kn是非负整数，称为一个单项式.,(1),一些单项式的和,(2),就称为n元多项式，或者简称多项式.,和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等、相加、相减、相乘.例如，,返回,定义10 所有系数在数域P 中的n元多项式的全体，称为数域P上的

2、n元多项式环，记为,与一元多项式的情况相仿，我们有,返回,P x1,x2,xn.,k1+k2+kn称为单项式（）的次数.当一个多项式表成一些不同类的单项式的和之后，其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.,虽然多元多项式也有次数，但是与一元多项式的情况不同，我们并不能对多元多项式（）的单项式按次数给出一个自然排列的顺序，因为不同类的单项式可能有相同的次数.我们看到，一元多项式的降幂排法（或者升幂排法）对于许多问题的讨论是方便的.,返回,同样地，为了便于以后的讨论，我们对于多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排序法.,（k1,k2,

3、kn）(3),其中ki为非负整数.这个对应是的.为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对于n元数组（）定义一个先后顺序就行了.,返回,如果数 k1-l1,k2-l2,kn-ln,中第一个不为零的数是正的，,也就是说，有in使,每一类单项式 都对应一个n元数组,那么，我们就称n元数组（）先于n元数组,返回,并记为(k1,k2,kn)(l1,l2,ln).,（l1,l2,ln）(4),例如(1,3,2)(1,2,4),由定义立即看出，对于任意两个n元数组(3)，(4)，关系,中有一个且仅有一个成立.同时，关系“”具有传递性，即，,返回,如果,那么,事实上，由ki-mi=(ki-li)+(l

4、i-mi)即得上面的结论.因之，这样的确给出了n元数组之间的一个顺序.相应地，单项式之间也就有了一个先后顺序.,例如多项式,按字典排序法写出来就是,因为(3,0,0)(2,1,0)(1,2,2).,按字典排序法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项.例如，就是上面这个多项式的首项，应该注意，首项不一定具有最大的次数.,当n=1时，字典排序法就归结为以前的降幂排法.,对于字典排序法，我们有：,返回,定理14 当f(x1,x2,xn)0,g(x1,x2,xn)0 时，乘积 f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn)的首项等于 f(x1,x2,xn)的首项与g(x1,x2,xn)的首项的

5、乘积.,证明 设f(x1,x2,xn)的首项为,g(x1,x2,xn)的首项为,为了证明它们的积,为fg的首项，只要证明,先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了.,返回,事实上，f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn)中其他单项式所对应的有序数组是三种情形之一,或者,或者,其中,返回,而,同样有,由传递性即得,返回,与,是显然的.,这就证明了，不可能与乘积中其他的项同类而相消，且先于其他所有的项，因而它是首项.证毕.,解,返回,用数学归纳法立即得出,推论1 如果fi0，i=1,2,m，那么乘积f1 f2 fm的首项等于每个fi的首项的乘积.,返回,定理14的结论显然包含着,推论2 如果

6、 f(x1,x2,xn)0,g(x1,x2,xn)0，那么 f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn)0.,如果多项式,返回,中每个单项式全是m次的，这个多项式就称为m次齐次多项式.,例如,就是一个4次齐次多项式.,显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和.,任何一个m次多项式f(x1,x2,xn)都可以唯一地表示成,其中fi(x1,x2,xn)是 i 次齐次多项式.fi(x1,x2,xn)称为f(x1,x2,xn)的 i次齐次成分.,返回,如果,是一个 l 次多项式，那么乘积,的 k 次齐次成分hk(x1,x2,xn)为,由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于因子次数的和.,最后我们指出，与一元多项式一样，多元多项式也可以看作函数的表达式.设,返回,并设 c1,c2,cn是数域 P中的数，我们称,为f(x1,x2,xn)在 x1=c1,x2=c2,xn=cn处的值.,显然，当,时，我们有,返回,