【教学课件】第六章解线性方程组的迭代法.ppt
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1、第六章 解线性方程组的迭代法,6.1 引言6.2 基本迭代法6.3 迭代法的收敛性6.4 分块迭代法,6.1 引言,本章介绍求解线性方程组 的迭代求解方法,其中,。假设 非奇异,则方程组有唯一解。本章介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法,超松弛迭代法等常用迭代法。迭代法的例例:用迭代法求解线性方程组:记为:,其中:,6.1 引言,已知其精确解为:。现将方程组改写成如下的等价形式:迭代法的例例:用迭代法求解线性方程组:记为:,其中:,6.1 引言,已知其精确解为:。现将方程组改写成如下的等价形式:或写为,其中:,6.1 引言,由此建立迭代格式(公式):给定
2、初始向量:,则可得:或写为,其中:,6.1 引言,由此建立迭代格式(公式):给定初始向量:,则可得:当 时,有:,得近似解:,由此可以看出由迭代法产生的向量序列 逐步逼近方程组的精确解。,6.1 引言,例2:考虑方程组:,取初值,则有:可见不收敛。因此,我们得到:对于任何一个方程组,由迭代法产生的向量序列 不一定收敛。当 时,有:,得近似解:,由此可以看出由迭代法产生的向量序列 逐步逼近方程组的精确解。,6.1 引言,例2:考虑方程组:,取初值,则有:可见不收敛。因此,我们得到:对于任何一个方程组,由迭代法产生的向量序列 不一定收敛。为做进一步研究,我们假设方程组 有唯一解,则,又设 为任意初
3、始向量,按下列公式构造向量序列:其中表示迭代次数,我们给出如下的定义:定义1:上述求解方法称为迭代法,如果 存在,则称迭代法收敛,否则称为迭代法发散。,6.1 引言,为讨论收敛性,引进误差向量,从而可得:,递推得到:要研究 的收敛性,就要研究 在满足什么条件时有,实际就是为做进一步研究,我们假设方程组 有唯一解,则,又设 为任意初始向量,按下列公式构造向量序列:其中表示迭代次数,我们给出如下的定义:定义1:上述求解方法称为迭代法,如果 存在,则称迭代法收敛,否则称为迭代法发散。,6.1 引言,为讨论收敛性,引进误差向量,从而可得:,递推得到:要研究 的收敛性,就要研究 在满足什么条件时有,实际
4、就是,6.2 基本迭代法,设有方程组,其中 为非奇异矩阵下面研究如何建立解方程组 的各种迭代法。将 分裂为,其中 为可选择的非奇异矩阵,且使 容易求解,一般选择为 的某种近似称 为分裂矩阵。于是,求解 转化为求解,即求解:这样,可构造迭代法:其中:称为迭代法的迭代矩阵,选取 阵,就得到解 的各种迭代法。,6.2 基本迭代法,设,并将 写为三部分:这样,可构造迭代法:其中:称为迭代法的迭代矩阵,选取 阵,就得到解 的各种迭代法。,6.2 基本迭代法,设,并将 写为三部分:Jacobi迭代法 由,选取 为 的对角元素部分,即选取,可得Jacobi迭代公式:其中 称 为解 的Jacobi迭代法的迭代
5、矩阵。,6.2 基本迭代法,Jacobi迭代法的分量表示 记由Jacobi迭代公式可得:,写成分量形式即为:于是,解 的Jacobi迭代法的计算公式为:Jacobi迭代法 由,选取 为 的对角元素部分,即选取,可得Jacobi迭代公式:其中 称 为解 的Jacobi迭代法的迭代矩阵。,6.2 基本迭代法,Jacobi迭代法的分量表示 记由Jacobi迭代公式可得:,写成分量形式即为:于是,解 的Jacobi迭代法的计算公式为:由此可知,Jacobi迭代法计算公式简单,每次迭代只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中 不变。,6.2 基本迭代法,Gauss-Seidel迭代法 我们再来分析前面的
6、例子,其实在求 时,我们已经求得了,然而我们此时并没有用到 来计算,这使我们想到,应该尽可能利用已经计算出来得新的值,因此,可将上面的迭代公式改为:由此可知,Jacobi迭代法计算公式简单,每次迭代只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中 不变。,6.2 基本迭代法,Gauss-Seidel迭代法 我们再来分析前面的例子,其实在求 时,我们已经求得了,然而我们此时并没有用到 来计算,这使我们想到,应该尽可能利用已经计算出来得新的值,因此,可将上面的迭代公式改为:这就是所谓的Gauss-Seidel迭代法,用分裂矩阵的语言,这时选取的分裂矩阵 为 的下三角部分,即选取,于是由得到Gauss-Se
7、idel迭代法:,6.2 基本迭代法,其中 称 为解方程组 的Gauss-Seidel迭代矩阵。至于Gauss-Seidel迭代法的分量表示,我们可由矩阵这就是所谓的Gauss-Seidel迭代法,用分裂矩阵的语言,这时选取的分裂矩阵 为 的下三角部分,即选取,于是由得到Gauss-Seidel迭代法:,6.2 基本迭代法,其中 称 为解方程组 的Gauss-Seidel迭代矩阵。至于Gauss-Seidel迭代法的分量表示,我们可由矩阵表示得到:即:写成分量形式得到:,6.2 基本迭代法,Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的异同:Jacobi迭代法公式简单,每次只需做矩阵和向
8、量的一次乘法,特别适合于并行计算;不足之处是需要存放 和 的两个存储空间。表示得到:即:写成分量形式得到:,6.2 基本迭代法,Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的异同:Jacobi迭代法公式简单,每次只需做矩阵和向量的一次乘法,特别适合于并行计算;不足之处是需要存放 和 的两个存储空间。Gauss-Seidel方法只需要一个向量存储空间,一旦计算出 立即存入 的位置,可节约一套存储单元这是对Jacobi方法的改进,在某些情况下,它能起到加速收敛的作用。但它是一种典型的串行算法,每一步迭代中,必须依次计算解的各个分量。,6.2 基本迭代法,解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛法 选
9、取分裂矩阵 为带参数的下三角矩阵其中 为可选择的松弛因子,于是构造迭代法如下:其中:这就是解 的 逐次超松弛迭代法(SOR方法)。其分量形式为:,6.2 基本迭代法,关于SOR方法的几点注释:(1)显然,当 时,SOR方法就是Gauss-Seidel方法。(2)SOR方法每一次迭代的主要运算量是计算一次矩阵 与向量的乘法。(3)时称为超松弛方法,时称为低松弛方法。(4)计算机实现时可用 控制 迭代终止,或用 控制终止。(5)SOR方法可以看成是Gauss-Seidel方法的一种修正。,6.3 迭代法的收敛性,例:分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法计算下列方程组,均取同样的
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- 教学课件 教学 课件 第六 线性方程组 迭代法
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