【教学课件】第六章Fourier变换.ppt

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1、第六章 Fourier变换,第一节 Fourier级数第二节 Fourier积分与Fourier变换第三节-函数,第一节 Fourier级数,有限区域上的Fourier展开或周期函数的Fourier展开,有限区域上的函数周期化的处理方法,处理1：将 f(x)转化为(-l,l)内的函数,设 f(x)是定义在区域(a,b)内的函数，其中a和b是有限数,处理2：周期化为整个实数轴上的以2l为周期的周期函数,Fourier展开,基本函数族,函数 f(x)的Fourier展开式,L2-l,l空间的概念,完备性的概念,Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理,若 f(x)满足：(1)处处连续，或

2、在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则,例子：,正弦级数和余弦级数,若函数 f(x)是奇函数，则Fourier展开成正弦级数,若函数 f(x)是偶函数，则Fourier展开成余弦级数,例1：设 f(x)=x+1,x:(0,l),试将其展开成正弦级数,例2：设 f(x)=x,x:(0,l),试将其展开成余弦级数,例3：设 f(x)=x,x:(0,l),试根据条件 f(0)=f(l)=0 将 其展开成Fourier级数,傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例如：对称方波的傅立叶展开,复

3、形式的Fourier级数,基本函数族,函数 f(x)的Fourier展开式,第二节 Fourier积分与Fourier变换,无限区域上的Fourier展开,实形式的Fourier积分与Fourier变换,Fourier积分定理,复形式的Fourier积分与Fourier变换,Fourier变换的性质,性质2（积分性质）F,性质4（延迟性质）F,性质6（卷积性质）F,性质1（导数性质）F,性质3（相似性质）F,性质5（位移性质）F,第三节-函数,-函数的概念-函数的性质与-函数有关的Fourier变换-函数的积分表示,-函数的概念,-函数的引入,例1：单位质量分布的线密度,例2：点电荷的线密度,

4、-函数的形式定义,或,称这样的函数为-函数，记为(x)和(x-x0),更一般地,几个含参函数的普通极限,分布意义下的极限或弱极限,-函数可以看作是如下意义的极限，即对于任何光滑的函数 f(x),有,-函数的性质,性质1：对于 连续f(x)，有,性质2：如果(x)=0 的根xk(k=1,2,)全是单根，则,例1：计算,例2：证明,例3：计算,广义导数,例1：证明,例2：证明,与-函数有关的Fourier变换,例1：求(x)的Fourier变换,例2：求常函数1的Fourier变换,例3：求 sin0 x 的Fourier变换,例4：求 d(x)/dx 的Fourier变换,-函数的积分表示,作业,PP.911;4(1),(5);8;PP.1041;2;4PP.1132 PP.111 例1，2,