【教学课件】第八讲大数定律与中心极限定理.ppt

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1、第八讲 大数定律与中心极限定理,【主要内容】介绍大数定律与中心极限定理。【主要目的】本实验将借助MATHEMATICA软件，了解随机模拟的一些简单算法及其应用。,随机变量 在通讯、计算机网络等一些工程应用问题中，通常需要进行大量的仿真模拟，目前采用最多的随机模拟方法是Monte Carlo方法，初等概率统计中的大数定律就是该方法的数学原理之一。在概率中，一般采用随机变量X来描述和分析随机现象，随机变量 X 从本质上来说是一函数，但随机变量 X 这个函数和我们在高等数学中学过的函数稍有所不同。,随机变量与普通函数的区别 定义域不同：高等数学中的函数 f(x)，其定义域和值域都是实数R；随机变量X

2、 的定义域是一非常抽象的集合样本空间研究方法不同：实数域R具有非常好的性质，如它是个全序集，具有拓扑结构和线性结构等等，所以对其上的函数f(x)，我们可研究其是否连续和可导等函数本身的性质 而样本空间通常仅仅是一个非空集合而已，没有任何其他可用的数学性质，这样就无法采用普通函数f(x)的一些研究方法来研究随机变量X，而是通过研究随机变量X的分布函数F(x)或其数字特征来研究其统计规律。,分布函数的获取 但在实际应用中，通常很难得到随机变量X的分布函数F(x)和其数字特征，能收集到的只是关于该随机变量的一些实验观察数据(称为样本)。那么如何通过这些样本来得到该随机变量X的分布函数F(x)或其数字

3、特征，这就成了我们需要解决的关键问题之一。而大数定律和中心极限定理就为解决上问题提供了一种数学途径。,概率论中的极限概念(I)几乎处处收敛,设 是一列随机变量，是一随机变量，若有：,则称随机变量序列 几乎处处收敛到X。,记为,概率论中的极限概念(II)依概率收敛,则称随机变量序列 依概率收敛到X。,设 是一列随机变量，是一随机变量，若对任 意的，有：,记为,概率论中的极限概念(III)依分布收敛,则称随机变量序列 依分布收敛到X。,记为,设 是一列随机变量，是一随机变量，设随机 变量 与 的分布函数分别为,若对分布函数 的任意一个连续点x，有,大 数 定 律 大数定律主要描述了大数量随机实验平

4、均结果的稳定性，揭示了随机现象的一种统计规律。依概率收敛,契比雪夫大数定理的特殊情形,设 是一列相互独立的随机变量序列，具有相同的 期望和方差：,则对任 意的，有：,伯努利大数定理,设 是n重伯努利试验中事件A发生的次数,设P(A)=p,则对任 意的，有：,辛钦大数定理,设 是一列相互独立同分布的随机变量序列，且 数学期望存在：,则对任 意的，有：,例1 的近似计算,分析：,如下图所示，矩形：的面积是1,四分之一圆：的面积是：,每次往右图所示的矩形中随机投点，假设每次都能投中到这个矩形中，那么点落到四分之一圆的概率就是,解：,设X,Y是相互独立同分布的随机变量，且都服从区间0,1上的均匀分布。

5、令,则有：,表示点落在四分之一圆内的概率,且有：,随机模拟：,产生 n 对相互独立的随机数(Xi,Yi)，且Xi 与 Yi 相互独立同分布，服从 区间0,1上的均匀分布。,由辛钦大数定理有：,所以当n充分大时，有：,统计随机数对(Xi,Yi)中满足条件：的数量,这又等于随机数Zi 中满足条件：Zi=1 的数量,随机模拟步骤：,step1：产生 n 个 区间0,1上的均匀随机数Xi。,step2：产生 n 个 区间0,1上的均匀随机数Yi。,step3：组成随机数对(Xi,Yi)，i=1，2,n。,step4：统计随机数对(Xi,Yi)，i=1，2,n。中 满足条件：的随机数对数量k。,step

6、5：得到 的近似值为：4k/n。,随机模拟结果：,例2 利用大数定理近似计算定积分,分析：,假设函数f(x)的图形如下图所示，那么定积分,就是下图中的阴影面积,随机模拟：,产生 n 对相互独立的随机数(Xi,Yi)，且Xi 与 Yi 相互独立，Xi服从 区间a,b上的均匀分布，Yi 服从 区间0,e上的均匀分布。,设A为事件“随机数(Xi,Yi)落在曲边梯形abcd中”,那么二维随机变量(Xi,Yi)的联合概率密度是：,易知事件A的概率是：P(A)=S/(b-a)e,随机模拟：,在矩形abef中随机地取 n 对数(Xi,Yi)，相当于做了n重伯努利试验，设 n 对数(Xi,Yi)中落在曲边梯形

7、abcd中的个数为k,那么由伯努利大数定理有：,所以当n 充分大时，有：,step2：产生 n 个 区间0,1上的均匀随机数Yi。,step3：组成随机数对(Xi,Yi)，i=1，2,n。,step4：统计随机数对(Xi,Yi)，i=1，2,n。中 满足条件：的随机数对数量k。,step5：得到 定积分的近似值为：,step1：产生 n 个 区间0,上的均匀随机数Xi。,计算定积分 的随机模拟步骤：,随机模拟结果：,例3 伯努利大数定理的随机模拟,随机模拟步骤：,step1：产生 n 个 服从两点分布b(1,p)的随机数Xi。,step2：统计n个随机数Xi中 1 的 个数nA，即事件A发生的

8、频数。,step3：计算误差：,step4：重复step1step3 m次，统计这 m次试验中，误差e大于 的 次数及频率。,随机模拟结果(其中m=100，p=0.5，0.05),的次数,的频率,的值,从上表可以看出：随着n的增大，伯努利试验中事件A 发生的频率与事件A发生的概率的偏差大于的概率越 来越接近于0。在实际应用中，当试验次数很大时，可以用事件发生的频率来代替概率。,中心极限定理 中心极限定理主要研究大数量独立随机变量和的分布函数的极限，揭示了大量独立随机因素综合影响的一种统计规律。依分布收敛,独立同分布的中心极限定理,设 是一列相互独立同分布的随机变量序列，且 期望和方差都存在：,

9、则对任 意的，有：,De Moivre-Laplace定理,设随机变量 服从参数为n,p的二项分布,则对任 意的，有：,例4 正态分布对二项分布的逼近,对于二项分布b(n,p)，当n充分大时，其分布函数与正态分布函数非常接近,step1：产生 二项分布b(n,p)的随机数X。,step2：对step1产生的随机数X作出直方图。,step3：作出正态分布：的直方图。,随机模拟结果(其中n=100，200，p=0.1),从上图可看出，当n较大时，二项分布的频率图和正态分布的概率密度拟合的效果非常好，这就说明，当n较大时，计算二项分布随机变量的相关概率时，可以用正态分布来近似，达到简化计算的目的,O

10、,记,则,近似,高尔顿钉板试验,共15层小钉,高尔顿(Francis Galton,1822-1911)英国人类学家和气象学家,例5 高尔顿铁板,求中奖的概率。,分析：,假设有 n 排铁钉，那么我们可以定义一列随机变量如下：,随机变量序列 Xi 是相互独立同分布的随机变量，且分布律为：,令：,则随机变量 Yn 表示小球第 n 次遇到铁钉后的位置。,由中心极限定理知，当n 充分大时，Yn 近似服从正态分布 N(0,n),随机模拟结果,铁钉的层数n：中奖概率,10 0.206,16 0.317,30 0.456,思考题：如果中奖区间设为(-，n和n,),随着 n的增大，中奖概率会怎么变化。,(赌徒

11、输光问题)甲、乙两人进行一系列赌博.在每局赌博中，甲赢的概率为，乙赢的概率为.每局赌博后，输者付给赢者一元钱.设每局赌博的结果都是相互独立的.假设在赌局开始时，甲有初始赌博为 元，乙有初始赌本为 元.赌博一直进行到一个人输光为止.求甲输光的概率.,思 考 题,设 为赌博进行了 局之后，甲拥有的总赌本.,分析：,设 为事件“最终是甲先输光”,记 为甲开始有i元钱的条件下，最后输光的概率，用数学式子表示就有,则有：,要求的概率是,先考虑赌完第一局后的情况：,第一局的结果只有两种可能：,甲第一局输，则有,甲第一局赢，则有,利用全概率公式得到：,令，得,则有：,当，即 时，有,可知当 时，即赌博不公平时，甲最终输光的概率为：,所以甲最终输光的概率是：,当 时，即，此时赌博是公平的，有,当赌博是公平赌博时，赌徒最终输光的概率与其拥有的赌本成正比.,综上可知，甲最终输光的概率是,当 时；,当 时.,?,?,?,?,随机模拟这个结果的实现？,The End!,Thanks!,