【教学课件】第八章虚拟变量回归.ppt

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1、经典线性回归模型默认回归系数为常数，没有考虑不同类别观测值对应的回归系数可能是有差别的，即没有把相关的定性影响因素引入到模型中来。例如，研究居民的消费行为时，构建如下模型：其中，Y为消费支出；X为收入。该模型默认城镇居民和农村居民的消费行为是无差异的，但如果城乡居民的消费行为存在差异，则对上述模型直接采用OLS估计，结果将是不精确的。为了有效的将定性影响因素反映到回归模型中，就需要采用虚拟变量方法。,第八章 虚拟变量回归,第一节 虚拟变量第二节 虚拟解释变量的回归第三节 虚拟被解释变量的回归第四节 案例,第一节 虚拟变量,一、虚拟变量（Dummy Variables）定义定义：就是用一个取值为

2、0和1的变量来表示定性变量中的一个属性类别，1表示出现该属性，0表示没有出现该属性。虚拟变量也叫设计变量（Design Variables，Hosmer&Lemeshow，1989）、代理变量（Proxy Variables，Kennedy，1981）等。作用：回归分析中，虚拟变量方法可有效的衡量诸如性别、战争、地震、政治动乱、经济政策变化及季节等定性变量对因变量的影响。,二、虚拟变量设置规则如果研究的定性变量包含M个类别，将构建个M-1个虚拟变量，省略的那个类别可视为参照组。如在消费模型中，考虑区域因素（东部，中部，西部）影响，可构建2个虚拟变量：,注:如果针对包含M个类别的定性因素构造M个

3、虚拟变量，则会陷入虚拟变量陷阱（Dummy Variable Trap），即由于而带来了完全的多重共线性。在没有截距项的模型中，对于包含M个类别的定性因素，构建M个虚拟变量虽不会产生虚拟变量陷阱，但此时检验截距的差值将变的更困难，而且没有截距项时怎样计算 也没有一个一致同意的方法，所以该方法很少人使用（Jeffrey M.Wooldridge，2000）。,第二节 虚拟解释变量模型,采用虚拟变量可有效的衡量不同观测类别对应回归参数的差异性，其中以加法方式引入虚拟变量可以反映不同类别对应截距的不同，以乘法方式引入虚拟变量可以反映不同类别对应斜率的不同。,一、加法模型以加法方式引入虚拟变量，即将虚

4、拟变量当作自变量直接引入模型。研究居民的消费行为时，考虑居民来源（城镇、农村）这个因素，则需构建虚拟变量：加法模型：,如果该模型设定正确，则有，此时有：可见，截距虚拟变量D的系数 反映了城乡居民之间自发性消费水平的差异。,二、乘法模型以乘法方式引入虚拟变量，即将虚拟变量与解释变量乘积项当作自变量直接引入模型。在消费模型中以乘法方式引入虚拟变量，即引入虚拟变量和自变量的交互乘积项DX：如果该模型设定正确，此时有：可见，城镇居民的边际消费倾向为，农村居民的边际消费倾向为。,如果不同属性类别对应的截距项和斜率项都是有差异的，可在回归模型中同时引入虚拟变量的加法方式和乘法方式，结果如下：对于城镇居民和

5、农村居民这两个类别，有总体回归函数如下：可见，和 分别表示城镇居民与农村居民的消费函数在截距和斜率上的差异。,注：对于包含多个类别（M个）的属性变量，构建M-1个虚拟变量，如在消费模型中，考虑区域因素（东部，中部，西部）影响，可构建2个虚拟变量：若考虑不同区域居民对应回归模型截距的不同，可构建模型如下：,则有：如果模型中包含不止一个定性变量，利用虚拟变量还可以研究定性变量对因变量的交互影响。如在消费模型中，同时考虑性别（男，女）和来源（城镇，农村）两个因素，构建虚拟变量如下：,可以加法方式引进两个虚拟变量的交互乘积项，构建模型如下：则有：可见，反映性别的影响，反映了居民来源影响，而 反映了性别

6、和来源的交互影响。,对于定序尺度的定性变量，如果所分等级不多，也可根据虚拟变量个数比分类数少一的原则引进虚拟变量。例如，考虑教育背景（大学以下，大学，大学以上）因素对居民消费的影响，可构建2个虚拟变量：如果定序变量所分等级过多，则很难对每个水平都包括进来一个虚拟变量。此时，可将定序变量分为几个类别，再构建虚拟变量（Jeffrey M.Wooldridge，2000）。,虚拟变量不仅可以代表质的因素，还可以代表数量因素。在经济关系中常有这样的现象：当自变量X的值达到某一水平X*之前，与因变量Y存在某种线性关系；当自变量X的值达到某一水平X*之后，与因变量Y的关系就会发生变化。这就是所谓的分段线性

7、回归（Piecewise Linear Regression）。此时，可设定虚拟变量：,构建包含门槛水平 X*的分段线性回归模型：于是有两个不同阶段的回归函数：显然，虚拟变量方法可有效的实现分段回归，其中两阶段的截距分别为 和，斜率分别为 和。实际应用中，如果分为K个阶段时，则需构建K-1个虚拟变量。,采用虚拟变量方法衡量不同属性类别对应回归参数的差异性，相对于将各属性类别的样本各自做回归，至少可以体现以下几个优点：个别的回归能容易推导出来；增加了自由度，参数估计的相对精度也有所改进；可采用各种假设检验，如采用t统计量检验单个虚拟变量D或交互乘积项D1D2、DX的显著性；采用F检验对多个虚拟变

8、量的显著性做联合检验。使用t统计量检验虚拟变量的显著性时，在OLS的操作和统计理论方面都没有任何改变。,采用F检验对多个虚拟变量显著性做联合检验时，需构建F统计量：其中，RSSR表示不含虚拟变量回归模型的残差平方和；RSSU表示含有虚拟变量回归模型的残差平方和；j表示约束条件的个数；k表示包含虚拟变量回归模型中参数的个数。,第三节 虚拟被解释变量,研究是否购买商品房、是否参加财产保险、是否选择上大学、选择公交车还是自驾车、银行客户是否会违约、大学生是否就业等问题时，研究的对象只有两种状态，可构造虚拟变量来衡量虚拟被解释变量线形概率模型Probit 模型（本章不讲）Logit 模型,一、线形概率

9、模型,D是虚拟变量,如果扰动项E(u)=0,则有：即：可见，以虚拟变量作为被解释变量的模型的条件期望实际上等于D取1的条件概率。,线形概率模型的估计OLS例：研究妇女工作问题其中，D=1，表示拥有或正在寻找工作 D=0，表示其它 M=1，表示已婚 M=0，表示未婚 S，表示受教育年限,系数的含义：解释变量增加一个单位，Di=1的概率增加几个单位。对于结婚的妇女，成为劳动力的概率下降0.38教育年限每增加1年，成为劳动力的概率增加9个百分点。,线形概率模型存在的问题：1、调整后的R2不能精确衡量拟合程度。D只取0和1，D的估计值多数在0，1之间变动，故R2一般很小。处理办法：采用替代指标。如解释

10、正确的样本比率。2、D的估计值可能不在0，1之间。处理办法：采用probit、logit模型。或令：,3、残差u的非正态性4、残差u出现了异方差可见:处理办法：加权最小二乘法。但不能保证,二、logit模型,1、基本概念可见，P属于0，1模型可变形为：其中,称为”机会比率的对数”,Logit 模型的估计估计的困难：被解释变量 未知处理办法1:采用极大似然法（）估计参数,对参数求导并令等于0：由于对参数来说是非线性的，求解十分困难，一般是通过迭代计算完成。最大似然估计具有一致性、有效性和正态性，但保持这些性质一般要求样本规模很大，n500,例：研究心肌梗塞和HDL（高密度脂蛋白）和FIB（纤维蛋白原）的关系，收集53个样本Eviews 估计结果中：LR statistics 相当于线形回归中的F统计量Mcfadden R squared 相当于线形回归中的R方,处理办法：当样本比较大时，用给定时计算的频率作为的估计，进而计算出的估计值。例如,X水平下有N 个样本,其中D=1有n个，则,对 作回归，同样会产生异方差。因为当N足够大时，处理办法：加权最小二乘法。权数为：,