【教学课件】第五节初等函数展开为幂级数.ppt

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1、第五节 初等函数展开为幂级数,一、泰勒级数二、展开的唯一性与间接展开法三、幂级数在近似计算中的应用,我们由4.1知道，若函数f(x)在区间(a,b)内有直到(n+1)阶导数，则有,其中,而 介于x0与x之间.常称此公式为f(x)在点x0处的拉格朗日型余项的泰勒公式，其中系数 称为泰勒系数.,多项式,与f(x)在 有相同的函数值，且有相同的直到n阶的导数.常称此 为f(x)在点 处的n次泰勒多项式，上述泰勒公式为用多项式逼近函数提供了理论基础.,例1 设f(x)=cos x，求f(x)在点x=0处的1次、2次、4次、6次、8次泰勒多项式.,所以cos x在点x=0处的1次泰勒多项式为,因此cos

2、 x在x=0处的2次泰勒多项式为,解 f(0)=cos 0=1，,再有，,相应地cos x在x=0处的4次、6次、8次泰勒多项式依次为,由上述的讨论可以看到 每一个都比前一个在x=0附近能更好地逼近cos x，且每个更高次泰勒多项式都包含了之前的所有的低次泰勒多项式.为此引进泰勒级数.,一、泰勒级数,级数，称为f(x)在 处的泰勒级数.,这里出现了一个问题：如果在 某邻域内，f(x)存在任意阶导数，是否必定有,上述问题含着两层意义：f(x)在 处的泰勒级数是否收敛？在其收敛区间内，其和函数是否等于f(x)?,为此，记,由泰勒公式有,定理10.8 设f(x)在包含点 在内的某区间内有任意阶导数.

3、f(x)在点 处的泰勒级数在该区间内收敛于f(x)的充分必要条件是在该区间内,如果，级数 为f(x)的麦克劳林(Machaurin)级数.,将f(x)展开为泰勒级数的一般步骤为：,1.求出f(x)的各阶导数,2.计算,3.写出f(x)在 处的泰勒级数,4、求出上述泰勒级数的收敛区间(R,R)，,是否为零，若为零则有,否则即使 收敛，其和函数也不一定为f(x).,5.在收敛区间内考察,例1 将 展开为麦克劳林级数.,解 由于 在x=0的某邻域内存在任意阶导数，且,因此,故ex的麦克劳林级数为,其收敛区间为.任取x，则对于任何介于0与x之间的，有,对于给定的x，可知 有界.,可知其当 时趋于零，因

4、此，于是有,而 可以看作是收敛级数 的一般项，,例2 将f(x)=sin x在x=0处展开为泰勒级数.,解,故,故麦克劳林级数,其收敛区间为，,位于0与x之间.,由于 为收敛级数，其通项的极限为零，,或写为,按上述方法将f(x)展开为幂级数，称为直接法.,因此，故有,二、展开的唯一性与间接展开法,设f(x)在 的某对称区间 内可以展开成 的幂级数,以 代入 两端，有,可将它写为,将(*)两端对x求二阶导数，然后再以 代入其两端，有,即,依次下去可得,这样就证明了下述定理：,将(*)两端对x求导数,然后再以 代入其两端,有,定理10.9(唯一性定理)设f(x)在某区间内可以展开为 的幂级数,其系

5、数必定为泰勒系数,所谓间接展开法，就是利用已知的幂级数展开式，利用幂级数在其收敛区间内的运算性质，例如两个幂级数可逐项加、减，逐项求导，逐项积分等，将所给函数展开为泰勒级数.,常用的展开式有,欲将f(x)展开为幂级数，首先与上述标准展开式对照，如果f(x)的形式与标准形式相近，则可以利用标准展开式与幂级数性质将其展开.,例3 设.,(1)将f(x)在x=0处展开为幂级数,解 由于 与 相近，先将其恒等变型,(2)将f(x)展开为(xb)的幂级数(ba).,(1),此级数的收敛区间由下式确定,即有axa.因此,(2),此级数的收敛区间由下式确定,因此当ab时，有ax2ba,当ba时，有 2bax

6、a.记之为D.,例4 将f(x)=ln(1+x)展开为麦克劳林级数.,解 所给函数与四个标准展开式中的形式皆不相近，但是由于，而,即,例5 将f(x)=cos x展开为麦克劳林级数.,解 由于，而,由幂级数在收敛区间内可逐项求导的性质可知,作为标准展开级数.,有必要指出，除前述三个展开式可以作为标准展开式外，还可以将,三、幂级数在近似计算中的应用,1.近似计算,利用函数的泰勒级数展开式可以计算函数的近似值，并对计算的精确度给出可靠的估计.,例6 计算e的近似值，精确到小数四位.,解 由,令x=1，则有,取，欲精确到小数四位，只需取.由于,只需取n=8，则有，于是,例7 计算 的近似值，精确到小数四位.,解 不能用初等函数表示出来，然而这类积分不难利用幂级数形式表示出来.,由幂级数的基本性质可知,为交错级数，由于，可取其前三项即可精确到小数四位，即,2.欧拉公式,前面讨论的级数都在实数范围内，下面研究复数项级数，其中 为实常数或实函数.,若上述复数项级数的各项的实部组成的级数 收敛，其和为u.又各项的虚部组成的级数 也收敛，其和为v，则称该复数项级数收敛，且其和为u+iv.,若z=x+iy，其中x，y为实数.通常定义,当x=0时，有z=iy，因此,由于，上式可化为,