【教学课件】第五章导数和微分.ppt

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1、第五章 导数和微分,1 导数的概念2 求导法则3 参变量函数的导数4 高阶导数5 微分,1 导数的概念,两个例子:,1.瞬时速度,2.切线的斜率,一 导数的定义,证 因为,定义2:,单侧导数与导数的关系:,例,二 导函数,定义:,证(i)和(iii)的证明略.,(ii)下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式.由于,三导数的几何意义,法线方程为:,注:,例,解 由于,定义3,定理(费马定理),2 求导法则,一 导数的四则运算和复合函数的链式法则,例,解,二 反函数的导数,基本求导法则:,例,三 对数求导法,例,再对上式两边分别求对数,得,整理后得到,补充:分段函数的导数,3 参变量函数的导数,

2、例,4 高阶导数,教学内容：1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、三角函数 y=sinx、y=cosx、指数函数y=ex的n阶导数公式。2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。,教学重点：各类函数高阶导数的计算。,要求：熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。,问题的提出：速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？,一 高阶导数的概念,1、二阶导数的定义 定义1：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点 的导数为 在点 的二阶导数，记作，即 同时称 在点 为二阶可导。2、n 阶

3、导数：的n-1阶导数的导数称为 的n 阶导数。3、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。,二 高阶导数的计算,1、n 个初等函数的高阶导数,例1 求幂函数（n 为正整数）的各阶导数。,解 由幂函数的求导公式得,由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降低1，第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于0。,注：用类似的方法，可求得三角函数y=sin x,y=cos x及指数函数的各阶导数。,2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数,莱布尼茨公式：,例4：设，求,3、分段函数的高阶导数,例5 研究函数 的高阶导数。,解 当 时，当 时，当 时，由左右导数定义不难求得 而

4、当 时，不存在，整理后得 当 时,4、由参量方程所确定的函数的高阶导数,例6 试求由摆线参量方程 所确定的函数 的二阶导数。,解 由公式（1）得 再由公式（2）得,5 微分,教学内容：1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与 可微是等价的。2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变 性。4、微分在近似计算中的应用。,要求:1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。,问题的提出：恩格斯在反社林论中指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。

5、这里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线性函数去逼近？,由两部分组成：（）（阴影部分）（）它是关于 的高阶无穷小量,因此，当给 一个微小增量 时，由此引起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。,一 微分的概念,注意：函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷 小量。若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可 用切线代替曲线。,二 可导与可微的联系与区别,1、函数 在点 可导与可微是等价的，且,2、函数 在点 的导数 与微分 的区别。是一个函数，而微分 是 的线性函数，它的定义域是R,它是无穷小，即从几何意义上说，导数 是

6、曲线 在点 的 切线斜率，而微分 是曲线 在点 的切线方程在点 的纵坐标。导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似 计算和微分运算。,三 微分的运算法则,3、函数微分的计算方法,（1）利用微分运算法则,例1 求 的微分。,解,（2）利用函数的导数求微分，即,例 求 的微分。,解 因为 所以,（3）利用一阶微分形式的不变性,例2 求 的微分。,解 由一阶微分形式不变性，可得,四 高阶微分,3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。,例3 设 分别依公式（1）、（2）求,解 由 得 依公式（1）得 类似地，依公式（2）得,五 微分在近似计算,1、函数的近似计算,例5 设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试 问此钟每天至多快几秒？,这就是说,加快约0.0002秒,因此每天大约加快,例4 求 的近似值。,注：在原点附近常用的近似公式：,2、误差估计,例6 设测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.05cm.试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。,