【教学课件】第二节对坐标的曲线积分.ppt

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1、第二节 对坐标的曲线积分,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系,一、对坐标的曲线积分的概念与性质1、变力沿曲线所作的功 已知一质点在xOy面内从点A沿光滑曲线 弧L移动到点B，在移动过程中，质点受,计算思路:当分割无穷细时(1)用常力代替变力；(2)用有向线段代替有向弧段.,(2)近似代替 用有向线段 来近似代替,(3)求和,2、定义,极限,极限,曲线积分,极限,曲线积分，,3、推广 当积分弧段为空间有向曲线弧 时，,注意：一般应用书写为,4、性质,性质1 设 为常数，则,性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2，则,性质3

2、 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧，则,注意：对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向.,二、对坐标的曲线积分的计算法,1、定理,证明:,(定积分定义),2、计算的理解与应用,即可；,(2)取x为参数:,(3)取y为参数:,(4)推广到空间曲线,参数方程为:,故有,解:方法一,方法二:,解:(1),注意:由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.,解:,注意:由此例可知,虽然沿不同的路径,但曲线积分的值可以相等.,解:由二点式,直线段AB的方程为,例5 设一个质点在M(x,y)处受到力 的作用，的大小与M到原点O的距离成正比，的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆 按逆时针方向移动到点B(0,b)，求力 所作的功W.,三、两类曲线积分之间的联系 1、两类曲线积分之间的联系公式为:,(3)函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续.,先讨论左边,由对坐标曲线积分计算公式:,方向余弦,再讨论右边,曲线弧L的切向量:,由对弧长的曲线积分计算公式:,即：,2、推广到空间曲线 上的两类曲线积分之间的联系,