【教学课件】第二章线性方程组.ppt
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1、第二章 线性方程组,2.1 高斯消元法 2.2 矩阵的秩2.3 线性方程组解的判定,线性方程组,的解取决于,回顾:根据克拉默法则,称为方程组的系数;称为常数项。方程的个数 没有限制,可以:,线性方程组的一般形式,是求解线性方程组的一种基本方法。其基本思想是通过消元变形,把方程组化成容易求解的同解方程组。即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的通解方程组。,第一节 高斯消元法,例1 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,例2 解线性方程组,Step2 把第一步中得到的方程组得第一个方程的2倍加到第二个方程上,得,Step2 把第一步中得到的方程组的第一个方程的2
2、倍加到第二个方程上,得,Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的3倍加到第三个方程上,得,Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的3倍加到第三个方程上,得,Step4 把上方程组中的第二个方程的2倍加到第三个方程上,得,Step4 得到的方程组具有这样的特点:自上而下未知数个数依次减少称为阶梯形状,称这样的方程组为阶梯形方程组。,第三个方程两边同乘以(1/11)得:x32;将x32代入第二个方程得:x29;再将x29,x32代入第一个方程得:x13。从而,方程组的解为:,分析上例:,我们对方程组反复进行了三种变换,即:,我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。,说明
3、:线性方程组的初等变换是可逆的。即,方程组(1)经初等变换化为一个新方程组,那么新方程组也可以经过初等变换还原为原方程组(1)。因而,方程组(1)与它经过若干此初等变换之后得到的新方程组是同解的。,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,矩阵,由 个数排成的 行 列的数表,称为 矩阵.,记作,定义1 矩阵的定义,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,增广矩阵,系数
4、矩阵,例2的增广矩阵和系数矩阵,定义,间的关系式为,线性变换.,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,若线性变换为,称之为恒等变换.,单位阵.,定义2 矩阵的初等行变换是指下列三种变换:,(1)互换矩阵的第 行和第 行的位置;记做:,(2)用一个非零数 乘矩阵的第 行;记做:,(3)把矩阵的第 行元的 倍加到第 行上。记做:,若把定义中的行换成列,就得到矩阵的三种初等列变换!相应的记为:,初等列变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,记做。,说明:对线性方程组施行一次初等变换,相当于对它的增广矩阵施行一次对应的初等行变换,而化简线性方程组相当于
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