【教学课件】第二章第四节柯西公式.ppt

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1、1,2.4 柯西公式,(一)有界区域的柯西积分公式(二)无界区域的柯西积分公式(三)解析函数的高阶导数(四)例题,第二章第四节柯西公式,2,(一)有界区域的柯西积分公式若f(z)在闭单通区域B上解析，l 为B区域的境界线，a为B内的任一点，则有柯西公式,如图：l为区域B的境界线，z0=a为区域的内点。当z沿着l变化时的函数关系f(z)如果是已知的，则区域中内点z0=a处的函数值f(a)可以用围绕a点的闭合回路l的积分表示出来。,3,4,5,L0,柯西定理,6,7,证明：由,要证(2.4.1),只要证,8,由于z=a一般为f(z)-f(a)/(z-a)的奇点，因此，以a为圆心，为半径作小圆C,于

2、是在l 及C 所围复通区域上，f(z)-f(a)/(z-a)单值解析。按复通区域的柯西定理，,9,上式右端有:,在C 上的最大值.,其中 是,10,由于(2.4.2)左端与无关,故必有,柯西公式得证.,柯西公式将解析函数在任一内点a的值f(a)用沿境界线 l 的回路积分表示出来.,11,D,12,l,l2,l1,闭复通区域的柯西公式：,积分均沿着境界线正方向。,13,(二)无界区域的柯西积分公式如果f(z)在简单闭合曲线l上及l 外解析,且当 时,则柯西积分公式,仍然成立,此处z为 l 外一点,积分路线 l 为顺时针方向.,14,(三)解析函数的高阶导数柯西公式的一个重要推论是解析函数可求任意

3、阶导数,由于z为区域的内点，积分变数在区域的境界线上，,可在积分号下对z求导，得,总结：Cauchy公式的用处,建立了解析函数闭合路径积分与闭合积分路径包围内函数值之间的关系;2)一类复变函数的路径积分可以直接用内点的函数值计算.,3)一类函数的路径积分可以用内点的函数导数值计算.,柯西公式将解析函数在任一内点 的值 用沿闭合曲线l的回路积分表示出来，这并不奇怪，因为解析函数各点的值通过柯西-黎曼方程互相联系!,推论:,模数原理:设f(z)在某闭区域上为解析,则|f(z)|只能在境界线上取极大值.,刘维尔定理:设f(z)在全平面上解析,并且有界,即,则f(z)必为常数.,17,柯西积分公式:若

4、f(z)在闭单通区域B上解析，l 为B区域的境界线，a为B内的任一点，则有柯西公式,1）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个形式；2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关,18,解,若f(z)在闭单通区域B上解析，l 为B区域的境界线，a为B内的任一点，则有柯西公式,1）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个形式；变形的时候，先找积分函数的奇点。2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关,19,随堂练习：,20,若f(z)在闭单通区域B上解析，l 为B区域的境界线，a为B内的任一点，则有柯西

5、公式,1）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个形式；2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关,21,若f(z)在闭单通区域B上解析，l 为B区域的境界线，a为B内的任一点，则有柯西公式,1）形式：分子是一个解析函数，分子是一个在该区域存在奇点的函数，如果不是这个形式就要求转化为这个形式；2）积分结果与分子在该奇点的函数值有关,22,23,24,随堂练习：,25,解,练习讲解,26,解,根据柯西古萨定理得,练习2：,27,柯西定理,28,L0,柯西定理,29,这类题的解题方法：求解复变函数沿闭合回路的积分大体分为以下几步：找出被积函数没有定义的所有点，确定这些点中，哪 个点在积分回路所围的区域中，该点就是被积函数的 奇点。将被积函数写成柯西公式的形式，,得出积分值,30,作业：,