【教学课件】第三节函数的单调性与极值.ppt

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1、第三节 函数的单调性与极值,一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最大值和最小值,一、函数的增减性判别法,，曲线上升,，曲线下降,定理1 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b)内可导，则,（i）如果在(a,b)内f(x)0，,（ii）如果在(a,b)内f(x)0，,则f(x)在a,b上单调增加；,则f(x)在a,b上单调减少。,解,例1,解,例2,单调区间为,例3,证,极大值与极小值统称为极值。,设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于x0的点x,二、函数的极值,称x0为f(x)的极大（小）值点；,或（f(x)f(x0)），,则称f(x0)为f(x)的极大值(或极

2、小值）,如果恒有f(x)f(x0)，,定义,函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。,从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，,不存在的点.,因此极值点只能是 和,但驻点和导数不存在的点不一定是极值点.,但f(x)在点x=0不取得极值。,通常称为函数f(x)的驻点,因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点.,例如，对函数y=x 3,y=3x 2,x=0是驻点,使导数f(x)等于零的点x0,可以证明：若函数f(x)在x 0 处可导，且在x 0 处取得极值，则这个函数在x 0 处的导数为零。即,不存在的点。,(ii

3、i)若在x0的两侧，f(x)不变号，,定理2（极值存在的一阶充分条件）,设f(x)在x0的某邻域内连续，,在该邻域（x0可除外）可导，,x0为f(x)的驻点或使f(x),(i)若当x 0；,则 f(x0)是f(x)的极大值；,(ii)若当x x0 时，f(x)0；,则 f(x0)是f(x)的极小值；,则f(x0)不是极值。,当x x0 时，f(x)0，,当x x0 时，f(x)0，,例4 求,的极值点与极值。,解,用 x=0,x=，分割定义域成几个小区间,定义域（-，+）,列表讨论如下:,极大值点:,极大值:,极小值点:,极小值:,且f(x0)=0，f(x0)0，则,（ii）当f(x0)0时，

4、f(x0)是f(x)的极小值。,例5,的极值.,定理3（极值存在的二阶充分条件）,设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，,（i）当f(x0)0时，f(x0)是f(x)的极大值；,由极值第二判别法,x=1时,f(x)有极小值:f(1)=4.,由于,所以,需用极值第一判别法判定:,无极值.,三、最大值、最小值问题,（2）计算区间端点处的函数值；,例6 求函数,上的最大值与最小值。,在区间,1 求连续函数f(x)在a,b上的最值：,（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；,（3）对以上两类函数值进行比较即得。,令,函数的不可导点为x=0,1.,解,得驻点,函数f(x)在区间端点、驻点以及不可导点处的

5、函数值为：,比较之，得最大值：,最小值：,一般地说，若函数f(x)的最大(小)值是在区间,(a,b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值,在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定,此时，如果确定f(x)在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），,可导函数f(x)在其区间内部确有最大值（或最小值），,那么，这个点就是函数的最值点,注1：,注2：,2 实际问题中最值的求法,例7 如图所示为稳压电源回路，电动势为e,内阻为r,负载电阻为R，问R为多大时，输出功率最大？,解：由电学知道，消耗在负载电阻R上的功率 I为回路中的电流.,又由欧姆定律知道,则有,令,此实际问题应有最大值，故当,输出的功率最大，,