【教学课件】第三节一阶线性微分方程.ppt

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第三节 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上述方程称为齐次的.,上述方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,一、一阶线性方程,齐次方程的通解为,1.一阶线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.一阶线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲线 与 截下的线段PQ之长在数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例3,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,