【教学课件】第三章函数极限.ppt

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1、第 三章 函数极限,本章内容,函数极限概念函数极限的性质函数极限极限存在的条件两个重要极限无穷小量和无穷大量,第一节 函数极限概念,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,定义1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数,使得对于适合不等式 的一切,所对应的函数值 都满足不等式,那末常数 就叫函数 当 时的极限,记作,2.另两种情形:,3.几何解释:,例1,证,例2,证,左半部分成立，只考察右半部分 的范围，则有：,二、自变量趋向有限值时函数的极限,定义2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等

2、式 的一切,对应的函数值 都满足不等式,那末常数 就叫函数 当 时的极限,记作,2.几何解释:,注意：,证,例3,例4,证,函数在点x=2处没有定义.,例5,证,几点注释,1 定义中的 相当于数列极限中的，它与 有关，但不是唯一确定。2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在 有无定义。3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出。,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,第二节 函数极限的性质,六种极限,一 函数极限的性质,1.局部有界性,2.唯一性,定理,推论,3.局部保号性,4.局部保不等性,定理,5.夹逼准则,本定理既给出了判别函数极限存在的方

3、法；又提供了一个计算函数极限的方法。,6、极限运算法则,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,小结:,例5,解,左右极限存在且相等,例6 求 例7 求例8 证明,第三节 函数极限存在的条件,函数极限与数列极限的关系(海涅定理),定理,注：本定理有如下几点注释：1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。,证,例如,例1,证,二者不相等,单调有界准则：,以上4种极限有相互对应的单调有界准则。,定理,Cauchy收敛准则：,

4、设函数 在 内有定义。存在的充要条件为：,收敛函数的函数值在 几乎“挤”在了一起。通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在。,第四节 两个重要极限,一,例1,解,二,例2,解,例3,解,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则;单调有界准则.,第五节 无穷小量和无穷大量,一、无穷小量,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小

5、.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,定义:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,例如,定理4(等价无穷小替换定理),证,例3,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例4,解,解,错,例5,解,三、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,四、无穷小与无穷大的关系,定理5 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,五、小结,几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,例7,证,