【教学课件】第七章模糊与概率.ppt

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1、第七章 模糊与概率,陶晓燕,本章的主要问题：,模糊和概率的基本知识模糊集合的几何图示模糊集合的大小的表征模糊集合的模糊程度的度量模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系与模糊集合的模糊程度之间的关系,一、模糊和概率的基本知识,1.是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念？Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值 Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其 他方法都是不充分的(直接指向模糊理论)随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分

2、配律 区别：对待。经典集合论，代表概率上不可能的事件。而模糊建立在,考虑两个问题：（1）总是真的吗？（模糊存在吗）考虑是否逻辑上或实际中有违背“无矛盾定理”的现象（Aristotle的三个思考定理之一，另外两个是排中定理，同一性定理，这些都是非黑即白的经典定理。）模糊（矛盾）的产生，就是西方逻辑的结束（2）是否可以推导条件概率算子？经典集合论中（公理）模糊理论：利用超集 是其子集 的子集程 度来衡量模糊集合A的模糊性，这是模糊集合的特有问题。,2.随机与模糊：是否与多少模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的不确定性）冰箱里有一个苹果的概率

3、为50%（Probability）冰箱里有半个苹果（Fuzzy）停车位问题 模糊是一种确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的，人们需要重新审视现实模型。,不精确的椭圆,概率上的椭圆还是模糊的椭圆？没有随机性的问题，所以属于模糊问题。可否？概率并不能包括所有的问题。概率论是一种有限测量理论。,二、模糊集合的几何图示：sets as points,将论域X的所有模糊子集的集合模糊幂集合 看成一个超立方体，将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距，最大模糊。也是唯一满足以下特性的

4、点：（多值连续集合理论）,模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3，3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立方体包含了两个元素x1，x2所有可能的模糊子集。四个顶点代表x1，x2的幂集2X。对角线连接了非模糊集合的补集。,越靠近模糊立方体的中点，A就越模糊。当A到达中点时，所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点，A就越确定。当A到达顶点时，全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2X。模糊立方体将Aristotelian集合“流放”到顶点处。,Proposition:A is properly fuzzy i

5、ff iff,完善模糊正方形,三、模糊集合的大小基数,A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。（X,In,M）定义了模糊理论的基本测量空间。M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数)。,两个模糊集合A和B的 距离：距离就是如上图所示的欧几里德距离。最简单的距离就是模糊汉明距离，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉明距离，基数 M可以重写成 距离的形式：,四、模糊集合的模糊程度模糊熵,A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形

6、式：,模糊熵定理：,模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。（）,五、模糊集合间的包含关系包含度定理,主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)：,如果A=(.3 0.7)和B=(.4.7.9)，那么A就是B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的。,1.模糊子集的几何表示B的所有模糊子集构成集合模糊幂集F(2B)，它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各隶属度值mB(xi)。可

7、以度量F(2B)的大小或体积V(B)，为隶属度值的乘积：,2.包含度定理：在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：S(.,.)在0,1之间取值，其代表了多值的包含度的测量，是模糊理论中的基本的、标准的结构。如何度量S(.,.)？两种方法：(1).代数方法:即失配法(fit-violation strategy)，假定X包含有100个元素：X=x1,x100。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)mB(x1)

8、。直观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有：,失配数的计算：max(0,mA(x)-mB(x)归一化之后得到超集的最小度量：,包含度为：,这种包含度度量满足主导隶属度函数关系，当 时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时，S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还

9、是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的程度为：0 S(A,B)1考虑匹配矢量A=(.2 0.4.5)和B=(.7.6.3.7)。A几乎是B的子集，但不完全是，因为 所以，类似可得：(2)几何方法：在图7.7中，集合A或是位于F(2B)内,或是在外头。直觉上，当A接近F(2B)时,S(A,B)应接近于1，当A远离F(2B)时,S(A,B)应该减小。那么A与F(2B)之间的距离如何计算？,寻找B*(A位于F(2B)的外头):通过F(2B)边线的直线延伸，将超立方体In分割成2n个超长方形。他们分为混合的或是纯的主值隶属度。非子集A1,A2,A3,分别位于不同的象限。西北和东南象限是混合主导隶属

10、度函数的长方形，而西南和东北象限则是“纯”的长方形。通过F(2B)与A1,A3的范数距离，分别找到与西北和东南象的点A1,A3距离最近的点B1*和B3*。而离东北象限中的点A2距离最近的点B*就是B自身。由此可证得一般性勾股定理。且这种“正交”优化情况表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜边。,基数M(A)为恒定值的点A的轨迹为一条平行于负斜率对角线的直线。以B为中心的l1范数区域呈钻石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2离B更近。而同时，M(A1)M(A2)。可见，包含度依赖于基数M(A)。考虑归一化，进一步猜测：,可以定义超集：d(A,F(2B)=d(A,B*)为了保证其值在(0,

11、1)之间变化,要进行归一化处理，该常数等于最大 的单位立方体距离，l1情况下值为n:S(A,B)=1-d(A,B*)/n这种度量存在的问题（图7.9）,假定p=1，令 正交性表明：设 其充要条件是没有失配现象发生，恒有。所以,设 其充要条件是有失配现象 发生，这时，,综上：,这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个更重要的性质：因为如果有一个失配关系，那么，所以，其余的，所以 故。,B*是具有双重优化特性的点，它既是离A最近的B 的子集，也是离B最近的A的子集A*:,包含度定理：,推导相对频率：,结论:fuzzy theory extends probability theory六、如何用模糊集合间的关系表征某个模糊集合的模糊程度 包含度是模糊中最基本的有代表性的一个数值 熵-包含度定理：,将包含度定理中的A、B分别用 和 代替，并注意到交集 是并集 的子集，即可证得。,该定理表明了整体是其部分的一部分的程度。另外，利用式7-36也可得到该公式。,图示二维的熵-包含度定理。交集 是并集 的子集。可见长对角线的长度相等，所以并集 到交集 的模糊幂集所构成的超长方形的最优距离d*满足：,Thank You,