【教学课件】第一节单调函数的可导性.ppt

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第一节 单调函数的可导性,第六章 微分与不定积分,基本内容：一导数定义问题：回忆微积分中导数的定义，如何判断导数是否存在？,从数学分析知道，上的函数在 处的可导性等价于,这也是我们讨论函数可导性的一个常用的方法。因此，我们也给上面的左、右极限一个名称，这就是,定义3 设 是 上的有限函数，记,左下、左上、右下、右上导数,分别称 为 f 在 点右上、右下、左上、左下导数。,当 f 在 点有有限导数时，也称 f 在 点可微。,显然，f 在 点有导数当且仅当,(2)导数的存在性与可导性,因此，当 时，我们称 f 在该点有导数，而不说在该点是可导的，就是由于这个缘故。,上述定义与数学分析中导数定义有一点差别。,事实上，在数学分析中，讲导数通常都是指可导，也就是说，其导数是一个有限数，此处则不同，导数值可以取.,(3)导数值为的例子,从这个例子不难看到，函数在一点有导数并不意味着它在该点连续，上述函数在 点就是间断的。,则,例:设,定理4 设 f 是 a,b 上的单调有限函数，则 f 在 a,b 上几乎处处有有限导数。,二.单调函数的可导性,三单调函数导数的可积性,定理5 设 f 是 上的单调增加有限函数，那么 是 上的Lebesgue可积函数，且。,证明：将 f 扩充到 上，对任意，令，并令，它是Riemann可积函数，而且。,注意到,由Fatou引理得,证毕。,