【教学课件】第一章矩阵代数.ppt
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1、1,第一章 矩阵代数,1.1 定义1.2 矩阵的运算1.3 行列式1.4 矩阵的逆1.5 矩阵的秩1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹1.7 正定矩阵和非负定矩阵1.8 特征值的极值问题,2,1.1 定义,pq矩阵:,p维列向量:,q维行向量:a=(a1,a2,aq),向量a的长度:,单位向量:,3,若A的所有元素全为零,则称A为零矩阵,记作A=0pq或A=0。若p=q,则称A为p阶方阵,a11,a22,app称为它的对角线元素,其他元素aij(ij)称为非对角线元素。若方阵A的对角线下方的元素全为零,则称A为上三角矩阵。显然,aij=0,ij。若方阵A的对角线上方的元素全为零,则称A为下三角矩
2、阵。显然,aij=0,ij。若方阵A的所有非对角线元素均为零,则称A为对角矩阵,简记为A=diag(a11,a22,app)。若p阶对角矩阵A的所有p个对角线元素均为1,则称A为p阶单位矩阵,记作A=Ip或A=I。,4,若将矩阵A的行与列互换,则得到的矩阵称为A的转置,记作A,即若方阵A满足A=A,则称A为对称矩阵。显然,aij=aji。,5,1.2 矩阵的运算,若A=(aij):pq,B=(bij):pq,则A与B的和定义为A+B=(aij+bij):pq若c为一常数,则它与A的积定义为cA=(caij):pq若A=(aij):pq,B=(bij):qr,则A与B的积定义为,6,运算规律,(
3、1)(A+B)=A+B。(2)(AB)=BA。(3)A(B1+B2)=AB1+AB2。(4)。(5)c(A+B)=cA+cB。,7,若两个p维向量a和b满足ab=a1b1+a2b2+apbp=0则称a和b正交。几何上,正交向量之间相互垂直。若方阵A满足AA=I,则称A为正交矩阵。正交矩阵的三个等价定义:若方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。对称的幂等矩阵称为投影矩阵。,8,正交矩阵A的几何意义,当p=2时,,9,当p=3时,如下形式的正交变换同样有着直观的几何展示。正交阵A的行列式非1即1。若|A|=1,则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交旋转),y的各分量正是该点在
4、新坐标系下的坐标;若|A|=1,则包含了一个镜面反射的坐标轴。由于yy=(Ax)(Ax)=xAAx=xx故在新、旧坐标系下,该点到原点的距离保持不变。,10,矩阵的分块,设A=(aij):pq,将它分成四块,表示成其中A11:kl,A12:k(ql),A21:(pk)l,A22:(pk)(ql)。若A和B有相同的分块,则,11,若C为qr矩阵,分成其中C11:lm,C12:l(rm),C21:(ql)m,C22:(ql)(rm),则有,12,例1.2.2 证明正交矩阵A:pp的p个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。证明 记由AA=I,得,13,于是故有即a1,a2,ap为一组正交单位向量
5、。同理,由AA=I可证a(1),a(2),a(p)也是一组正交单位向量。,14,1.3 行列式,p阶方阵A=(aij)的行列式定义为这里 表示对1,2,p的所有排列求和,(j1j2jp)是排列j1,j2,jp中逆序的总数,称它为这个排列的逆序数,一个逆序是指在一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数。例如,(3142)=1+(1342)=3+(1234)=3。,15,行列式的一些基本性质,(1)若A的某行(或列)为零,则|A|=0。(2)|A|=|A|。(3)若将A的某一行(或列)乘以常数c,则所得矩阵的行列式为c|A|。(4)若A是一个p阶方阵,c为一常数,则|cA|
6、=cp|A|。(5)若互换A的任意两行(或列),则行列式符号改变。(6)若A的某两行(或列)相同,则行列式为零。(7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列),则所得行列式不变。(8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合,则行列式为零。,16,(9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵,则(10)若A和B均为p阶方阵,则|AB|=|A|B|。(11)|AA|0。(12)若A与B都是方阵,则(13)若A:pq,B:qp,则|Ip+AB|=|Iq+BA|证明 因为,17,上述两个等式两边各取行列式,故得|Ip+AB|=|Iq+BA|例1.3.3 设x,y为两个p维向量,则|I
7、p+xy|=1+yx,18,代数余子式,设A为p阶方阵,将其元素aij所在的第i行与第j列划去之后所得(p1)阶矩阵的行列式,称为元素aij的余子式,记为Mij。Aij=(1)i+jMij称为元素aij的代数余子式。有以下公式成立,19,1.4 矩阵的逆,若方阵A满足|A|0,则称A为非退化方阵;若|A|=0,则称A为退化方阵。设A=(aij)是一非退化方阵,若方阵C满足AC=I,则称C为A的逆矩阵,记为C=A1,A1必是一个非退化矩阵。令B=(Aij)/|A|其中Aij是aij的代数余子式,则容易验证AB=BA=I。由于C=BAC=B,因此A1是惟一的,且(A1)1=A。,20,逆矩阵的基本
8、性质,(1)AA1=A1A=I。(2)(A)1=(A1)。(3)若A和C均为p阶非退化方阵,则(AC)1=C1A1(4)|A1|=|A|1。(5)若A是正交矩阵,则A1=A。(6)若A=diag(a11,a22,app)非退化(即aii0,i=1,2,p),则(7)若A和B为非退化方阵,则,21,1.5 矩阵的秩,一组同维向量a1,a2,an,若存在不全为零的常数c1,c2,cn,使得c1a1+c2a2+cnan=0则称该组向量线性相关。若向量a1,a2,an不线性相关,就称为线性无关。矩阵A的线性无关行向量的最大数目称为行秩,其线性无关列向量的最大数目称为列秩。矩阵的行秩和列秩必相等,故统一
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