【教学课件】第9章级数的MATLAB求解.ppt

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1、第9章 级数的MATLAB求解,编者,Outline,9.1 常数项级数及其审敛法9.2 幂级数9.3 傅里叶级数9.4 级数求和与序列求积,9.1 常数项级数及其审敛法,1.常数项级数的概念 一般的，如果给定一个数列则由这个数列构成的表达式叫做常数项无穷级数，简称常数项级数，记为 即根据这个数列有没有极限，我们引进常数项级数的收敛与发散的概念。2.正项级数及其审敛法 一般的常数项级数，它的各项可以是正数、负数或者零。现在我们先讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数。比较审敛法 比值审敛法，也称达朗贝尔判别法 根值审敛法，也称柯西判别法3.交错级数及其审敛法 所谓交错级数是这样的级数

2、，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：或 其中 都是正数。关于交错级数的审敛有莱布尼茨定理。,9.2 幂级数,1函数项级数的概念 如果给定一个定义在区间上 的函数列则由这函数列构成的表达式 称为定义在区间 上的函数项无穷级数，简称函数项级数。2.幂级数的收敛半径与收敛域 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，它的形式是 其中常数 叫做幂级数的系数。阿贝尔定理如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得（1）当 时，幂级数绝对收敛；（2）当 时，幂级数发散；（3）当 与 时，幂级数可能收敛也可能发散

3、。正数 R 通常叫做幂级数的收敛半径，开区间 叫做幂级数的收敛区间。,9.2 幂级数,3函数展开成幂级数 如果能找到这样的幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数，我们就说，该函数在该区间内能展成幂级数，而这个幂级数在该区间内就表达了这个函数。上述幂级数叫做函数 在点 处的泰勒级数，而展开式叫做函数 在点 处的泰勒展开式。幂级数：展开式：函数的麦克劳林级数函数的麦克劳林展开式,9.3 傅里叶级数,1.三角级数 为了深入研究非正弦周期函数我们将周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。形如上式的级数叫做三角级数，其中 都是常数。2.函数展开成傅里叶级数 周期为 的周期函数的

4、傅里叶级数：设函数是周期为 的周期函数，且能展开成三角级数 如果上面关系式中的积分都存在，这时它们定出的系数 叫做函数 的傅里叶系数，将这些系数代入，所得的三角级数叫做函数 的傅里叶级数。周期为 的周期函数的傅里叶级数：,9.3 傅里叶级数,3.正弦级数与余弦级数 奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数偶函数的傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数。,9.4 级数求和与序列求积,1.常数项级数的和 对于常数项级数，MATLAB符号运算工具箱提供的symsum函数可以用于求解常数项级数的和。该函数的调用格式为：r=symsum(s,v,a,b)参数说明：r为返回的级数和，s为级数的通项，v

5、为级数自变量，a和b为级数求和的起始项和终止项，并可以将起始项或终止项设置成无穷量inf。如果s变量中只含有一个变量，则在函数调用时可以省略v。2.幂级数的和函数 对于幂级数，对应于其收敛域内的任意一个数x，幂级数称为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s。这样，在收敛域上，幂级数的和是x的函数s(x)，通常称s(x)为幂级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成3.序列求积 对于具有通项的无穷项的乘积 或，MATLAB中并未提供直接的函数求解其无穷项乘积的函数，但我们可以借用symsum函数求解。具体做法如下（以正项序列乘积 为例）：设 对其两端取对数，有整理上面的式子可以得到,谢谢大家！,