【教学课件】第5章连续时间信号与系统的复频域分析.ppt

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1、第5章连续时间信号与系统的复频域分析,5.1 连续时间信号的拉普拉斯变换5.2 拉普拉斯变换的基本性质5.3 拉普拉斯逆变换5.4 应用拉普拉斯变换分析线性电路5.5 系 统 函 数5.6 系 统 的 稳 定 性5.7 系 统 的 频 率 响 应 5.8 用MATLAB进行连续时间信号与系统的复频域分析,利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。在此基础上建立了线性时不变电路s域分析的运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时还引出了系统函数的

2、概念。,5.1 连续时间信号的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换2.单边拉普拉斯变换,常用信号的拉氏变换及收敛域1.常用信号的拉氏变换（1）阶跃函数（2）单位冲激信号（3）指数函数,2.单边拉氏变换的收敛域 如图5.1所示的复平面称为s平面，水平轴称为轴，垂直轴称为j轴，=0称为收敛坐标，通过=0的垂直线是收敛域的边界称为收敛轴。对于单边拉氏变换，其收敛域位于收敛轴的右边。,图5.1单边拉普拉斯变换的收敛域,5.2 拉普拉斯变换的基本性质,在本节中，将看到，在掌握了拉氏变换的基本性质和定理之后，可以方便求得信号的拉氏变换。,5.2.1 线性5.2.2 时移特性 s域平移特性5

3、.2.4 尺度变换5.2.5 时域微分5.2.6 时域积分5.2.7 时域卷积定理,5.3 拉普拉斯逆变换,在用拉普拉斯变换的方法分析电路问题时，一般来讲它包括三个步骤：首先对微分方程进行拉氏变换成为代数方程，然后解此代数方程得到所求未知函数的拉氏变换F(s)，最后求F(s)的逆变换。直接计算法 逆拉普拉斯变换是从s域函数求出对应的时域函数。,5.3.2 部分分式展开法 如果能把X(s)展开为一些逆变换已知的函数的和，如X(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s)则根据线性性质，X(s)的逆变换为x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)这种求解逆变换的方法称为部分分式展开法。,1.极点为实

4、数，无重根2.极点为共轭复数3.具有多重极点,5.4 应用拉普拉斯变换分析线性电路,拉普拉斯变换在线性电路的分析与设计中占有相当重要的地位，利用拉普拉斯变换方法分析电路称为电路的复频域分析或s域分析。电路的某些特性在s域中分析较为方便。当电路中含有冲激电压或电流时，用拉普拉斯变换法分析要比时域分析方便。由于s域电路方程为代数方程，因而电路设计常常在s域中进行。此外，电路的频率响应特性也常常借助于s域函数进行分析。,5.4.1 应用拉普拉斯变换求解微分方程 当电路或系统的输入输出微分方程已知时，可直接对微分方程应用单边拉普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域输出Y(s)，对其取逆变换得到时域解y(

5、t)。,从该例可看出，用拉普拉斯变换法求解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输出及其导数，并且可直接得到全响应。通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换可以避开烦琐的求解微分方程的过程。特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法可以使计算量大大减小。,5.4.2 电路元件的复频域模型 对于比较复杂的网络（支路或结点较多），列写微分方程本身也是一件烦琐的事情。对于线性时不变电路，可不必列写微分方程，直接把时域的电路模型转换为s域电路模型，在s域内写出电路的代数方程形式，然后进行求解。,1.电路元件的s域串联模型,图5.3 元件s域模型（串联形式）,2.电路元件的s域并联模型,图5.4 元件的s域模型（并联模

6、式）,把电路中的每个元件都用它的s域模型来代替，将信号用其变换式代替，于是就得到该电路的s域模型图。对此模型利用KVL和KCL分析可以得到所需求解的变换式，这样就用代数运算代替了求解微分方程。,5.4.3 线性电路的复频域分析 使用复频域分析法分析线性电路的过程为：（1）求解电容的初始电压和电感的初始电流；（2）给出电路的复频域模型；（3）建立复频域电路的代数方程并求解；（4）对输出量的复频域函数取逆变换。,5.5 系 统 函 数,5.5.1 系统函数的定义1.定义 线性时不变系统的系统函数H(s)可定义为系统的零状态响应y(t)的拉氏变换Y(s)与系统激励x(t)的拉氏变换X(s)之比。,系

7、统函数也称为网络函数。在系统分析中，由于激励与响应信号可以是电压，也可以是电流，因此系统函数可以是阻抗（电压除以电流）或导纳（电流除以电压），也可以是数值比（电压除以电压或电流除以电流）。此外，当系统为一个二端网络，激励与响应在同一端口，如图5.7(a)中的Ui(s)与Ii(s)，则系统函数称为策动点函数或驱动点函数。,若系统为一个四端网络，激励与响应不在同一端口，如图5.7(b)中的Ui(s)或Ii(s)与Uo(s)或Io(s)，则此系统函数称为转移函数或传输函数。由此可知，策动点函数可能是阻抗或导纳，而传输函数可能是阻抗、导纳或传输比值。,图5.7 系统函数（策动点函数与转移函数）,5.5

8、.2 连续时间系统的三种描述方式 系统函数在系统分析中扮演着非常重要的角色。当系统的微分方程给定时，令输出量及其各阶导数在t=0-时的值为零，对微分方程取拉普拉斯变换即可得系统函数。,LTI连续时间系统可用以下三种方式描述：（1）系统微分方程；（2）系统函数；（3）系统冲激响应。在这三种描述中，能够根据任一种形式推导出另外两种形式。,在实际中，通常用系统函数描述系统，其框图表示如图5.8所示。,图5.8 系统的传递函数描述,5.5.3 用系统函数计算系统的零状态响应 在求系统的零状态响应y(t)时，它等于系统冲激响应h(t)与激励信号x(t)之卷积，即y(t)=h(t)*x(t)若Y(s)、H

9、(s)、X(s)分别表示y(t)、h(t)、x(t)的拉氏变换，根据拉氏变换的时域卷积定理，式（5-28）可表示为Y(s)=H(s)X(s),因此，只要知道了系统函数H(s)，对任意激励信号x(t)拉普拉斯变换为X(s)后，二者相乘即可得到任意信号下的零状态响应的拉氏变换Y(s)，再求拉氏逆变换即可得y(t)。,5.5.4 系统函数的零极点图1.系统函数的零极点 极点pi与零点zj的数值可以是实数、纯虚数或复数。由于A(s)与B(s)的系数都是实数，所以零极点中若有虚数或复数，则必然共轭成对，因此H(s)的极点或零点存在以下几种类型：一阶实极点或实零点；一阶共轭极点或共轭零点；二阶或二阶以上的

10、实、共轭极点或零点。,2.系统的零极点图 把系统函数H(s)的零点和极点在s平面上标注出来，极点用表示，零点用表示，就称为系统函数的零极点图。从零极点图可以看出系统函数的零极点在s平面的分布情况。利用系统函数在s平面的零极点分布可以分析系统的时域特性，求解系统的自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。利用H(s)的零极点分布还可以方便地求得系统的频率响应特性，从而对系统的频域特性进行分析。,H(s)的零极点图如图5.9所示。用符号表示零点，表示极点，在同一位置画出了两个相同的符号表示二阶极点或零点。,图5.9H（s）的零极点图,5.5.5 由系统函数的零极点分布确定时域特性 系统函数H(s)与

11、冲激响应h(t)是一对拉氏变换，因此根据H(s)的零极点在s平面上的分布就可以确定系统的时域特性。,1.系统函数的极点与时域特性的关系（1）若一阶极点位于s平面的坐标原点,图5.10,（2）若一阶极点位于s平面的实轴上，且极点为负实数，p=-a0,图5.11,（3）若一阶极点位于s平面的实轴，且极点为正实数，p1=a0,图5.12,（4）若有一对共轭极点位于虚轴，p1=j0及p2=-j0,图5.13,（5）若有一对共轭极点位于s左半平面，即p1=-a+j0，p2=-a-j0，-a0,图5.14,（6）若有一对共轭极点位于s 右半平面，即p1=a+j0，p2=a-j0，a0,图5.15,（7）若

12、有二阶极点位于s平面的坐标原点，即p1，2=0,图5.16,（8）若有二阶极点位于负实轴，即p1，2=-a，a0,图5.17,（9）若二阶共轭极点位于虚轴，即p1，2=j0，p3，4=-j0,图5.18,综上所述，若系统函数H(s)的极点位于s左半平面，则冲激响应h(t)的波形呈衰减变化，若H(s)的极点位于s右半平面，则h(t)呈增幅变化。当一阶极点位于虚轴时，对应的h(t)成等幅振荡或阶跃变化。若二阶极点位于虚轴，则相应的h(t)呈增幅变化。,2.系统函数的零点与时域特性的关系 H(s)的极点位置与冲激函数的形状有着重要关系，而H(s)的零点分布只影响到冲激函数的振幅与相位，而对于h(t)

13、的波形形式不起作用。,5.6 系 统 的 稳 定 性,本节讨论利用系统的s域特性来判别系统的稳定性问题。一般说来，无源系统总是稳定的。然而，在电子系统中，广泛应用有源的反馈系统，这种系统可能是不稳定的。判别一个系统是否稳定或者求解一个系统的稳定条件或自激震荡条件是电子设计中必须要考虑的问题。本节将讨论系统的稳定性判别准则，着重讨论线性非时变系统的稳定性准则。,5.6.1 时域判别法 如果输入有界时（Bounded input）只能产生有界输出（Bounded output），这样的系统称为稳定系统，这一稳定性准则称为BIBO稳定性准则。它适用于一般系统，可以是线性系统也可以是非线性系统，可以是

14、非时变系统也可以是时变系统。,s域判别法 以上讨论的稳定性条件都是在时域判定的。在s域中，对于线性非时变因果系统，可根据上述定义和系统的零极点分布与系统冲激响应的关系得出系统极点分布与稳定性的关系如下。（1）稳定因果系统的系统函数H(s)的极点只能在s左半平面，不能在s右半平面有极点，否则不满足式（5-36），系统不稳定。,（2）如果H(s)的一阶极点位于虚轴，则该系统为临界稳定系统。（3）H(s)的极点位于s右半平面，对于因果系统来说，该系统不稳定。（4）如果H(s)在虚轴上有二阶以上的极点，则该系统不稳定。由于无源系统不能补充和供给能量，其响应幅度总是有限的，故无源网络都是稳定系统或临界稳

15、定系统。,5.7 系 统 的 频 率 响 应,在s平面，任一复数都可用一有方向的线段表示，这称为矢量。例如，某一极点pi可以看成自坐标原点指向该极点的矢量，如图5.19（a）所示。矢量的长度表示模|pi|，其相角是自实轴反时针方向至该矢量的夹角，变量j也可以用矢量表示，如图5.19（b）所示。于是j-pi就是矢量j与矢量pi的差矢量，当变化时，差矢量也随之变化。,图5.19 零点与极点的矢量表示,5.8 用MATLAB进行连续时间信号与系统的复频域分析,5.8.1 用MATLAB求解信号的拉氏变换 MATLAB与拉氏变换定义式对应的指令为xs=laplace（xt，t，s）,其中，xt为被求拉

16、氏变换的信号函数x(t)的符号表达式；t为积分变量；s为复频率；xs为x(t)的拉氏变换X(s)。如果xt 中t为MATLAB规定的积分变量，而且用s表示复频率，上面的指令也可简写为xs=laplace（xt）,5.8.2 用MATLAB求解信号的拉氏逆变换1.用符号工具直接计算法2.用部分分式法计算拉氏逆变换,5.8.3 用MATLAB绘制系统的零极点图 在MATLAB中，系统函数的零极点可用多项式求根指令roots或指令tf2zp求解，其格式为：p=roots(a)z=root(b)z，p，k=tf2zp(b，a),其中，a为分母系数向量；p为极点；b为分子系数向量；z为零点；k为增益。零极点图用指令plot绘制，极点位置处标注x，零点位置处标注o。,由系统函数计算系统频率特性的MATLAB实现在研究电路系统的频率特性时，当电路比较复杂时，手工计算系统函数和频率特性就比较复杂，而利用MATLAB的freqs指令可以方便的计算并绘制系统的频率响应曲线。,